Integrales de linea

| ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALCÁLCULO VECTORIALIng. Hugo Rodríguez. | Realizado por:Carlos A. Rocha A.Fecha: 2012-Ene-04No. De páginas: 12 | Trabajo No.1 |

INTEGRALES DE LÍNEA

* Integral de linea de un campo escalar.-

| ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALCÁLCULO VECTORIALIng. Hugo Rodríguez. | Realizado por:Carlos A. Rocha A.Fecha: 2012-Ene-04No. De páginas: 12 | Trabajo No.1 |* Integral de línea de un campo vectorial.-

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* Propiedades de las integrales de línea.-

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La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.
En matemática, una integral de líneao curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
* El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
* El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función(campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
* Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
una función vectorial definida en

, diferenciable y acotada en ;
la parametrización de una trayectoria en . Se llamaintegral de línea de F sobre a la integral:

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:
, Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

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A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo:
* Primero debemos parametrizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

* Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrización en dicha función. E integramos:

* Luego sustituimos dS por: teniendo asílo siguiente:

EJEMPLOS.-
1. Evaluar la integral de línea del campo vectorial sobre la trayectoria de una hélice

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2. Un hombre de 160 libras lleva una cubeta de pintura de 25 libras a lo alto de un tanque a traves de unaescalera helicoidal. La escalera tiene 20 pies de radio. Al alcanzar la altura máxima de 90 pies del tanque la escalera ha dado tres vueltas completas. Calcule el trabajo realizado para llevar la cubeta hasta lo más alto del tanque.
Sabemos que al dar tres vueltas completas llegaremos a alcanzar 90 pies. De esto establecemos una relación y encontramos que 6πz=90t, por lo tanto z=15/πt. También...