Integrales definidas

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

MATEMATICAS II

INTEGRALES DEFINIDAS

20 DE MAYO DEL 2010

INTRODUCCION

Este artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integraciónpor medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Area de los Polígonos- enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el casode figuras de tres y cuatro lados.

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto deintegral definida
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el ejehorizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
* Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
* Cuando la función f (x) es mayor que cero, suintegral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
* La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
* La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
* Al permutar los límites de unaintegral, ésta cambia de signo.
* Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

* Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Cuando estudiamos el problema del área y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área debajo de la gráfica de unafunción como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
[f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo)
[f(x1) + f(x2) + f(x3) + ……………………… + f(xn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en el extremo derecho decada subintervalo)
[f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x =
(se utiliza el valor de la función en cualquier punto de cada subintervalo)
Este tipo de límites aparece en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Definición 1: Sif es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica es el número:
= [f(x0) + f(x1) + f(x2) + ……………………… + f(xn–1)] D x o bien
= donde x0 = a, xn = b y D x = .
(la función se evalúa en el extremo izquierdo de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)
Definición 2: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces...