Integrales múltiples

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UNIDAD 5 INTEGRALES MÚLTIPLES

En cálculo en una variable, se definió la suma de Riemann para una Función definida en el intervalo [a,b], como

[pic]

Si el número de intervalos en que se particióna el dominio tiende a Infinito, obtenemos la conocida integral definida, esto es:

[pic]

Si, la suma de Riemann representa el área bajo la curva.

Las integrales se pueden calcularsobre regiones diferentes de los intervalos. En general, una integral sobre un conjunto E de una función f se escribe:
[pic]

Aquí x no hace falta que sea necesariamente un número real, sino que puede ser cualquier otra cantidad apropiada, por ejemplo, un vector de R3. El teorema de Fubini demuestra que estas integrales pueden reescribirse como una integral iterada. La integral se puedecalcular a base de integrar las coordenadas una por una.
De la misma manera que la integral definida de una función positiva representa el área de la región encerrada entre la gráfica de la función y el eje x, la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región comprendida entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. (Elmismo volumen puede obtenerse a través de una integral triple — la integral de la función de tres variables — de la función constante f(x, y, z) = 1 sobre la región mencionada antes entre la superficie y el plano, lo mismo se puede hacer con una integral doble para calcular una superficie.) Si el número de variables es mayor, entonces la integral representa un híper volumen, el volumen de un sólidode más de tres dimensiones que no se puede representar gráficamente.

Por ejemplo,

el volumen del paralelepípedo de caras 4 × 6 × 5 se puede obtener de dos maneras:

• Con la integral doble
[pic]

De la función f(x, y) = 5 calculada en la región D del plano xy que es la base del paralelepípedo.

• Con la integral triple
[pic]

De la función constante 1 calculada sobre elmismo paralelepípedo (a pesar de que este segundo método también se puede interpretar como el híper volumen de un híper paralelepípedo de cuatro dimensiones que tiene como base el paralelepípedo en cuestión y una altura constante de 1, como la altura es 1 el volumen coincide con el área de la base).

Puesto que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable, no existenlas integrales múltiples indefinidas: tales integrales son todas definidas.

5.1 INTEGRALES ITERADAS

Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.

Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutadoslos procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

PROCEDIMIENTOS PARA LA INTEGRACIÓN ITERADA

En las primeras dos integrales:

Se mantiene constante la variable diferente a la diferencial y se integra respecto a la diferencial correspondiente ya sea dx o dy; y posteriormente en el resultado de laintegración se sustituyen los límites superior e inferior como se realiza en las integrales definidas.

En la tercera y cuarta integrales:

Como los límites son numéricos es independiente realizar la integración primero respecto de dx y luego de dy, o viceversa, ya que el resultado es el mismo.

En la quinta y sexta integrales:

Se observan en función de que variable se encuentran loslímites y se realiza la primera integración considerando la diferencial de la otra variable; seguidamente se sustituyen los límites no numéricos en el resultado de la primera integración. Y este nuevo resultado se integra considerando la diferencial de esta misma variable; y finalmente, se sustituyen los límites numéricos en el resultado de esta segunda integración. Mismo que será el resultado de...
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