Integrales múltiples

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Universidad de Carabobo
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Funciones Vectoriales
Sección: 16










Autor:
*Travieso Francy
C.I.: 19364458






Valencia, 25 de agosto de 2009

INTEGRALES MÙLTIPLES
Definición de rectángulo de RnRectángulo de R2
R=I1 x I2; donde I1=a,b, I2 =c,d de R
Producto cartesiano (A x B): Es el conjunto de todos los pares ordenados donde la primera componente pertenece a “A “y cuya segunda componente pertenece a”B”.
Ejemplo:
Sea A={1,-3,2} Y B={0,6}, entonces:
AxB=1,0;1,6;-3,0;-3,6;2,0;2,6
AxB, consiste en combinar todos los elementos del conjunto A con todos los elementos
del conjunto Bformando asì varios pares ordenados , en este caso el primer elemento
del conjunto A "1", se combinò con los dos elementos del conjunto B"0 y 6". Se realiza
el mismo procedimiento con los otros dos elementos del conjunto A -3 y 2

Conjuntos densos: No hay separación entre el conjunto A y el conjunto B
I1 :x∈R a≤x≤b}
I2:{x ϵ R |c≤y≤d}

I1 x I2
c

xn
x3
x1
d


a
bRectángulo de Rn
Si I1= a1, b1 , I2= a2, b2 , In =an, bn , el rectángulo de Rn se define como: I1 xI2x…x In

Malla de Rn
Caso particular de R2. Malla de R2
Sea I1= a,b e I2= c,d intervalos de reales R que originan al rectángulo de R2
Sean P1 y P2 particiones para los intervalos I1 e I2 respectivamente, definiremos a la malla de R2 para I1xI2 como el conjunto de todos los subrectàngulos: xi-1,xi x yj-1, yj , donde:
P1= {x0,x1, x2, …xi-1, xi,…,xn} y P2={y0,y1, y2, …yj-1,yj,…ym}
y

ym=d

yj

yj-1
rij

y0=c

x

xi-1
xn=b
xi
x0=a

Módulo del rectángulo rij
Modrij= ∆xi∆yi
∆xi=xi-xi-1 , ∆yj=yj-1
׀׀Malla׀׀=Max∆xi∆yi
Basados en esto, podemos decir que estas definiciones se pueden ampliar para Rn
Modri1,ri2,…,rin=(∆x1)i1 (∆x2)i2… ∆xn)in
∆xki=xki-xki-1Definición de la Integral
Se define la integral múltiple de f:Rn→R sobre el rectángulo R=I1xI2x…xIn, como:
Rf dr=limk→∞i=1kf(Xi)∆vi
∆vi=Mod(ri)
i: variable numeradora de la malla
INTEGRAL ITERADA:
* Integral iterada sobre un rectángulo de R2
Definiremos a la integral iterada sobre una función f: R2→R definida en un rectángulo de R2:
a,bxc,d Como:

cdadfx,ydxdy ò abcdfx,ydydx

Ejemplo:Calcule la siguiente integral iterada:
-1112x2+y2dx dy

“La integral iterada se caracteriza por tener varias variables de integración ya no es solo una como se venía acostumbrando. Para este caso en particular las variables de integración son x, y. La integral se calcula siguiendo el mismo procedimiento empleado en análisis matemático II, pero con la particularidad de que se va a integrarprimero respecto de x (se toma y como constante), y luego la expresión que resulte se integra con respecto a y. Este tipo de integral también va a generar un valor numérico”

Región de Integración:
y

1

1 2 x

-1I=-11x33+y2x/12dy

I= -1183+2y2-13+y2dy

I= -1173+y2dy
I= 7y3+y33/-11= 73+13--73-13
I= 163≈5.33

* Integral Iterada sobre un rectángulo de Rn.
Definiremos a la integral iterada sobre una función f: Rn→R definida el en rectángulo de Rn:
a1,b1xa2,b2xa3,b3x.x……..xan,bn Como:

anbn…a2b2a1b1fx1,x2,x3,….,xndx1dx2…dxn

Ejemplo:
011401-13x+y+z+w2dxdydzdw ; R= -1,3x0,1x1,4x0,1I=011401x22+y+z+w2x/-13 dydzdw

I= 01140192+3y+z+w2-12-y-z-wdydzdw

I=0114014+4y+z+w2dydzdw

I=40114y22+y(z+w2)/01dzdw

I=4011432+z+w2dzdw

I=40132+w2z+z22/14 dw

I=40132+w24+8-32+w2+12dw

I=401332+w2+152dw

I=40192+3w2+152dw

I=124w+w33/01
I=1563=52

* Integrales Iteradas sobre regiones NO RECTANGULARES :

Caso de R2

Regiones simples

i) Tipo 1: Y...
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