Integrales multiples

Tema 3

Integrales m´ltiples u
Contenidos
Integrales dobles. Notaci´n o Integrales dobles sobre rect´ngulos a Integrales dobles sobre recintos cualesquiera Propiedades de la integral doble Teorema del cambio de variables en integrales dobles

Integrales triples. Notaci´n o Integrales triples sobre paralelep´ ıpedos Integrales triples sobre recintos cualesquiera Propiedades de la integraltriple Teorema del cambio de variables en integrales triples Teorema de Green-Riemann Aplicaciones del teorema de Green-Riemann

1.1.

Integrales dobles. Notaci´n o
f (x, y) dx dy.
R

Sea f : R2 −→ R un campo escalar. Notaremos a la integral doble de la funci´n f (x, y) o sobre el recinto R de R2 como

1.2.

Integrales dobles sobre rect´ngulos a
dT

Un rect´ngulo Q de R2 no es m´sque el producto cartesiano a a de dos intervalos de R, es decir,
Q = [a, b] × [c, d]

Q
c a E b

como muestra el dibujo de la derecha.

Teorema 1 Sea f (x, y) una funci´n acotada e integrable en Q = [a, b] × [c, d]. Entonces: o
b

Si para cada y ∈ [c, d] existe la funci´n F (y) = o
a d

f (x, y) dx, entonces:
d b

f (x, y) dx dy =
Q c

F (y) dy =
c d a

f (x, y) dx

dySi para cada x ∈ [a, b] existe la funci´n F (x) = o
c b

f (x, y) dy, entonces:
b d

f (x, y) dx dy =
Q a

F (x) dx =
a c

f (x, y) dy

dx

As´ ı,
d b b d

f (x, y) dx dy =
Q c a

f (x, y) dx

dy =
a c

f (x, y) dy

dx

con lo que podemos calcular la integral doble de una funci´n acotada en un rect´ngulo mediante o a dos integrales definidas iteradas.

Ejemplo1.1Calcular
Q

2x + y 2 dx dy siendo Q = [0, 1] × [0, 2].

Soluci´n: o Veamos su c´lculo aplicando el resultado del teorema anterior. En este caso se verifican las hip´tesis a o de ambos apartados por lo que podemos calcular la integral doble mediante dos integrales definidas iteradas en el orden que queramos. As´ ı,
1 2 1

2x + y
Q

2

dx dy =
0 1 0

2x + y 8 4x + 3

2

dy

dx =0 x=1

y3 2xy + 3 =2+

y=2

dx
y=0

=
0

8 dx = 2x + x 3
2

x=0

8 14 = 3 3

De igual forma, si lo realizamos en el otro orden, tendremos
2 1 2

2x + y
Q

2

dx dy =
0 2 0

2x + y
2

2

dx

dy =
0 y=2

x2 + xy 2

x=1

dy
x=0

=
0

1+y

y3 dy = y + 3 ◦

=2+
y=0

8 14 = 3 3

1.3.

Integrales dobles sobre recintos cualesquiera

Sea R ⊂R2 un recinto acotado. Decimos que R es un recinto de tipo I (izquierda de la figura 3.1) si se puede expresar por
R = (x, y) ∈ R2 a ≤ x ≤ b ; g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)

De forma an´loga, decimos que R es un recinto de tipo II (derecha de la figura 3.1) si se puede a expresar por R = (x, y) ∈ R2 c ≤ y ≤ d ; h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y)
d

T - h2 (y)

T

g2 (x)

6

R
 h1 (y)
g1 (x) a Tipo I b

R?

c

E
Tipo II

E

Figura1.1 : Recintos de tipo I y tipo II.

Teorema 2 (Fubini) Sea f (x, y) una funci´n acotada e integrable en el recinto R acotado de R2 . o Si R es de tipo I, entonces
b g2 (x)

f (x, y) dx dy =
R a g1 (x)

f (x, y) dy

dx

Si R es de tipo II, entonces
d h2 (y)

f (x, y) dx dy =
R c h1 (y)

f (x, y) dx

dy

Por lo tanto, el teorema de Fubininos permite calcular las integrales sobre recintos arbitrarios mediante dos integrales definidas iteradas.

Ejemplo1.2 Calcular
R

(x + y) dx dy con R ≡

  y ≥ x2 
y≤4

Soluci´n: o

T

El recinto R es el que se muestra en el dibujo de la derecha. En este caso, podemos considerarlo como recinto de tipo I y de tipo II ya que
R = R = (x, y) ∈ R2 (x, y) ∈ R2 − 2 ≤ x ≤ 2 ; x2 ≤ y ≤ 4o bien √ √ 0≤y≤4; − y≤x≤ y

y=4 T 4

T
ˆˆ z ˆ y = x2 E 2

As´ ı,
−2

2

4

2

(x + y) dx dy =
R −2 2 x2

(x + y) dy dx =
−2 3

y2 xy + 2
2

y=4

dx
y=x2 x=2 x=−2

=
−2

x4 4x + 8 − x − 2

x4 x5 dx = 2x + 8x − − 4 10

= 8 + 16 − 4 −

16 32 16 128 − 8 + 16 + 4 − = 32 − = 5 5 5 5
4

Tambi´n e
4 √ y

(x + y) dx dy =
R 0 4

√ − y

(x + y) dx y − + 2...