Integrales Y Derivadas

Cap´ıtulo 4
Derivadas e Integrales
4.1. Introducci´on a la derivaci´on
En este cap´ıtulo presentaremos los conceptos m´as b´asicos del c´alculo diferencial e
integral. Este cap´ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´as, se ver´a el nexo que existe entre ambosconceptos a trav´es de un muy importante
teorema.
4.1.1. Derivada de una funci´on
Si tuvi´esemos que definir a la derivada de una funci´on en pocas palabras, dir´ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´on nos dice, de
alguna manera, cu´anto cambia la funci´on(variable dependiente) a medida que cambia la
variable independiente. La derivada de una funci´on nosdir´a si una funci´on crece o decrece
r´apidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´on, mejor
comenzaremos describiendo el significado geom´etrico que tiene, para luego definirla m´as
correctamente.
Significado geom´etrico de la derivada
Consideremos una funci´on lineal como f(x) = mx+n. Sabemos que la pendiente de la
recta descrita por esta funci´on esconstante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
esta funci´on es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´on es constante
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´on cuadr´atica f(x) = x2. Cu´al es la
tasa de crecimiento de esta funci´on. Al graficar esta funci´on(una par´abola) nos damos
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no esconstante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´on crece y crece cada vez m´as r´apido.
¿Como poder medir m´as cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
siguientes dos puntos de la par´abola:
P1(1; f(1)) = P1(1; 1)
112 Derivadas e Integrales
P2(2; f(2)) = P2(2; 4)
Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´on f(x) al irde x = 1 a x = 2 es
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1; 1) y (2; 4). Dicha pendiente vale:
m =
4 ¡ 1
2 ¡ 1
= 3
Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´on al ir de x = 1
a x = 2 ya que la funci´on crecer´a m´as lentamente cerca de x = 1 y m´as r´apidamente
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f(x) cerca de x = 1.F´acil. Consideremos un punto m´as cercano que P2 al punto P1. A decir, consideremos el
punto
P3(1;5; f(1;5)) = P3(1;5; 2;25)
Repitiendo el c´alculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3, encontramos
que:
m =
2;25 ¡ 1
1;5 ¡ 1
=
1;25
0;5
= 2;5
Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk, cada vez m´as cercano a P1, la
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vezm´as con la recta tangente a P1. Decimos
que en el l´ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1.
-2 -1 1 2
1
2
3
4
recta tangente
a y=x2 en P1
P1
Definicion 1 (geometrica de derivada) La derivada de una funci´on f(x) en x± se
define como la pendiente de la recta tangente al gr´afico de f(x) en el punto (x±; f(x±)).
4.1.2. Noci´on de l´ımiteEntender el concepto de l´ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´alculo.
Sin ir m´as all´a, la derivada es un l´ımite. Pero, ¿ qu´e es un l´ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnos cuenta, la noci´on de l´ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
Sn =
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ¢ ¢ ¢ +
1
2n
¿Qu´e pasaba si n crec´ıa al infinito? Esta suma se transformaba en unaserie geom´etrica
cuyo valor sabemos que es 1. Matem´aticamente, esto se expresa como:
l´ım
n!1
Sn = 1
4.1 Introducci´on a la derivaci´on 113
x f(x)
§ 1 0.8415
§ 0.5 0.9589
§ 0.1 0.9983
§ 0.05 0.9996
§ 0.01 0.9999
Este es un caso particular de l´ımite.
De modo m´as general, decimos que el l´ımite de una funci´on f(x) cuando x tiende a a es
L, si al acercarnos a x=a podemos hacer...