Integrales

INTEGRALES

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35.-INTEGRACIÓN POR PARTES:

Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de la diferencial de un producto de funciones, tendremos:

d(u•v) = u•dv + v•du  u•dv = d(u•v) – v•du, de donde, integrando en ambos miembros:

u•dv = d(u•v) - v•du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por partes:

.

NOTA: Para la elección de laspartes, podemos seguir el orden de las reglas siguientes:



36.- INTEGRALES RACIONALES:

Son de la forma siendo polinomios de coeficientes reales y exponentes naturales.

Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no serde este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:

A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:

Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:






B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:

Proceso: Se iguala el polinomio deldenominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices. Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes:

1) RAICES REALES SIMPLES  ( RRS ).
2) RAICES REALES MÚLTIPLES  ( RRM ).
3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES  ( RIS ).
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES  ( RIM ).

Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar.1) RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0:



NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... se siguen los siguientes pasos:

1) Descomposición de en suma de fracciones simples
2) Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).
3) Se multiplican ambos miembros por Q(x).
4) Se calculan los coeficientes A, B, C, ...mediante laidentificación de los numeradores.
5) Una vez obtenidos estos coeficientes, se integra en ambos miembros, quedando finalmente:

2) RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:




NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los mismos pasos que en el caso de ( RRS ).
 a0 es elcoeficiente de la variable de mayor grado.
Finalmente, quedará:




3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente:

(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .Con lo cual, la 4, nos queda así:










4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE:

La descomposición de según HERMITE, es tal como sigue:
1)  Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz....