Integrales

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Coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cadapunto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde res la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar(equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Coordenadas polares
En el plano de ejes xy concentro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
 (aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
* Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
* Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debelimitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo delnumerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp)

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Ecuaciones polaresSe le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de unafunción polar r. Si r(−θ) = r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si r(180°−θ) = r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras queen su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, lalemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.
Circunferencia
La ecuación general para una circunferencia con centroen (r0, φ) y radio a es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

Línea
Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el...
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