Integrales

Tema 9

Integraci´n o
El concepto de integral definida se desarroll´ hist´ricamente para calcular el o o a ´rea de regiones planas acotadas por l´ ıneas curvas. Tomando como referencia inicial que el ´rea del cuadrado que tiene lados de longitud l es igual a l2 , a es muy sencillo calcular el area de cualquier rect´ngulo y, recurriendo a la ´ a geometr´ elemental, puede calcularse tanbi´n el´rea de cualquier pol´ ıa e a ıgono si lo dividimos en tri´ngulos. La necesidad de un m´todo m´s sofisticado de a e a calcular ´reas aparece al intentar calcular la superficie de figuras acotadas a o a ırculo, o de una por “curvas”. Por ejemplo, ¿c´mo calcular el ´rea de un c´ par´bola? Uno de los logros m´s importantes del C´lculo Integral es el de a a a proporcionar un m´todo unificado y eficiente parala resoluci´n de este tipo e o de problemas. El concepto b´sico aqu´ es el de la integral. Inicialmente, lo entenderemos a ı como una expresi´n para calcular el ´rea por medio de un l´ o a ımite. Consideremos una funci´n positiva y acotada f definida en un intervalo [a, b]. Vamos o a “medir” el ´rea de la regi´n acotada por la curva y = f (x) y las rectas a o x = a, x = b, y = 0 (en la pr´ctica lafunci´n f ser´ continua casi siempre). a o a El m´todo consiste en reemplazar la regi´n curvada que queremos medir por e o recintos cuya ´rea es f´cil de calcular y que aproximan tanto como sea necea a sario la regi´n. Para ello, consideraremos dos tipos de recintos: los que est´n o a inclu´ ıdos en el interior de la regi´n curvada y los que la contienen. Obteneo mos as´ valores que aproximan el´rea de inter´s superior e inferiormente. ı a e Empezaremos con algunas definiciones.

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9.1.

Definiciones b´sicas a

Definici´n 9.1 Una partici´n P de un intervalo [a, b] es un conjunto finio o to de puntos {x0 , x1 ..., xn } del intervalo tal que estan ordenados de forma creciente, es decir, a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b. Cada uno de los subintervalos [xj−1 , xj ] para j = 1, 2, ...nes un subintervalo de la partici´n. Si δj = xj − xj−1 , la longitud del mayor subintervalo, o δ(P ) = m´x{δj : 1 ≤ j ≤ n}, se llama norma de la partici´n. a o a Definimos ahora las recintos que aproximan el ´rea superior e inferiormente. o ınfimo respectivamente de los Definici´n 9.2 Sea Mj y mj el supremo y el ´ valores de f (x) en el interval [xj−1 , xj ]. Definimos
n

S(f, P ) =
j=1

Mj δ jy s(f, P ) =

n

mj δ j
j=1

Se tiene que la suma superior S(f, P ) es la suma de las ´reas de n rect´ngua a los, de los que el j-´simo tiene base [xj−1 , xj ] y altura Mj . La suma de estas e a ´reas es mayor o igual que la del ´rea R contenida entre la curva y = f (x) a y las rectas x = a, x = b, y = 0. An´logamente, la suma s(f, P ) es menor o a igual que el ´rea de R (ver Fig. 9.1) a(a) Suma inferior

(b) Suma superior

Figura 9.1: Sumas superior e inferior 187

Si ahora tj es un valor arbitrario del intervalo [xj−1 , xj ] (j = 1, ..., n) y tomamos el conjunto T = {t1 , ..., tn }, la suma
n

σ(f, P, T ) =
j=1

f (tj )δj

satisface que s(f, P ) ≤ σ(f, P, T ) ≤ S(f, P ) En la Fig. 9.2 se ha construido esta suma tomando como conjunto T los puntos medios de cadasubintervalo.

Figura 9.2: Suma para los puntos medios Nuestro objetivo es demostrar que si f es una funci´n “razonablemente o buena” (lo que incluye a las funciones continuas y a las mon´tonas), las tres o sumas anteriores tienden a un l´ ımite com´n cuando δ(P ) tiende a 0. Este u l´ ımite denotado por
b

f (x)dx
a

ser´ la integral de la funci´n f sobre el intervalo [a, b]. a o Sinembargo, la operaci´n de l´ o ımite que acabamos de introducir es muy complicada. Por ello, abordaremos inicialmente un proceso m´s sencillo. a 188

9.1.1.

Integral superior e inferior de Darboux

Si M , m son el supremo e ´ ınfimo de f (x) en [a, b] y si, dada una partici´n o P , construimos las sumas S(f, P ) y s(f, P ) como antes, de las desigualdades M ≥ mj y mj ≥ m (j = 1, ..., n) se...