Integrales

Integral.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

es igual al área de la región del plano xy limitada entrela gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autoresmantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a serherramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

INTEGRAL INDEFINIDA

La integral indefinida es el límite de una suma infinita y se demuestra que es igual a la antiderivada, tambien llamada primitiva. Es decir la derivada de la primitiva es la función original. La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido porlas matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.
Y se simboliza:


Teorema:Si dos funciones F(x) y G(x) son primitivas de una misma funcion F(x) entonces existira una constante C tal que G(x)=F(x)+C
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cadafunción tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) sea la derivada de otra función F (x) quiere decir que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campovectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversasfunciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.
Propiedades de las primitivas

Aplicando las propiedades de la derivacion, es posible determinar algunas propiedades comunes de la integración. Las siguientes propiedades de linealidad sirven para descomponer integrales complicadas en otras más sencillas:
La integral de la suma (o diferencia) de dos funciones esigual a la suma (o diferencia) de las integrales de cada una de ellas.

La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función.


INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno...