Integrales

Matemáticas de 2º de bachillerato

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Integral indefinida

Integral indefinida
1.Introducción.La integración es el proceso recíproco de la derivación, es decir, en la derivación se trata de hallar la función derivada de una función f, esto es, hallar f ´, mientras que en la integración se trata de que dada una función f, debemos determinar otra (escribimos F) tal que su derivada sea f,esto es, F ´= f. El proceso de integración (o calcular una integral) es, generalmente, más complicado que el de derivación. En el presente tema veremos diversas técnicas o métodos de integración, es decir, métodos que nos permitirán resolver el siguiente problema: “dada una función f, hallar otra función F cuya derivada sea f “.

2.Primitivas de una función.Una función F es una primitiva de otrafunción f, si la derivada de F es f. F es una primitiva de f

]

F´ =f

Ejemplo 1.La función F (x) = x3 es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que F ´(x) = 3x2 = f (x). La función F1 (x) = x3 + 5 también es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que derivando, F1´(x) = 3x2 = f (x). La función F2 (x) = x3 & 0´8 también es una primitiva de la función f (x) = 3x2 ya que derivando, F2´(x) = 3x2= f (x). En realidad, cualquier función de la forma F (x) = x3 + C , siendo C un número real cualquiera, es una primitiva de la función f (x) = 3x2. De lo anterior deducimos que la función f (x) = 3x2 tiene infinitas funciones primitivas.

En general, podemos asegurar que si una función f (x) tiene una primitiva F(x), entonces tiene infinitas, ya que la función Φ(x) = F(x) + C con C 0ú también esuna primitiva de f (x). En efecto: F ( x ) primitiva de f ( x ) ⇒ F ′ ( x ) = f ( x )

Φ ′ ( x ) = [ F ( x ) + C] ′ = F ′ ( x ) = f ( x ) ⇒ Φ ( x ) es una primitiva de f ( x )

La expresión F(x) + C representa al conjunto de la infinitas funciones primitivas de f (x). Para cada valor de C (número real), obtenemos una primitiva en concreto. Si conocemos una primitiva, tenemos determinadas todas,ya que difieren en una constante.

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Ejemplo 2.Sea la función f (x) = cos x. Una primitiva de f (x) es F1(x) = sen x ya que F1´(x) = cos x = f (x). Otra primitiva de f (x) es F2 (x) = sen x + 9 ya que F2´(x) = cos x = f (x). Otra primitiva de f (x) es F3 (x) = sen x & 12´92 ya que F3´(x) = cos x = f (x). etc. Como la función f (x) =cos x tiene infinitas primitivas y todas se diferencian en una constante, expresamos F (x) = sen x + C (C es un número real cualquiera) como el conjunto de las infinitas primitivas de f (x) = cos x. Es decir:

F ( x ) = sen x + C C ∈ R

Conjunto de las primitivas de f (x) = cos x

Ejercicio 1.Determinar el conjunto de las primitivas de la función f (x) = ex y escribir tres elementos de dichoconjunto.

Solución:
A simple vista se aprecia que cualquier función de la forma F (x) = ex + C œC 0 ú es una primitiva de f (x) = ex, por lo que: F (x) = ex + C Conjunto de las primitivas de f (x) = ex

 Para C = 0 tenemos F1 = e x   Hallemos tres de ellas:  Para C = 7 tenemos F2 = e x + 7 3 3  x  Para C = − 5 tenemos F3 = e − 5 

Puede ocurrir que la primitiva de una función esté definidaúnicamente en un intervalo de ú. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo 3.Consideremos la función f ( x ) = 1 . Una primitiva de esta función sería F(x) = Lx x (logaritmo neperiano de x) ya que F ´(x) = f (x). Ahora bien, si x#0 entonces Lx no está definido (recuerda que los números negativos y el cero no tiene logaritmo), por lo que las funciones F(x) = Lx + C serán primitivas de f (x) en el intervaloabierto (0,+4), esto es, para valores positivos de x. No obstante, la función F(x)=L*x* sí es una primitiva de f (x) en todo ú&{0}. En efecto:

 Si x > 0 entonces F ( x ) = L x = Lx y F ′ ( x ) = 1 = f ( x )  x  1 1  Si x < 0 entonces F ( x ) = L x = L( − x ) y F ′ ( x ) = − x ( − 1) = x = f ( x ) 

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Lo visto en el ejemplo 3 hace...