Integrales

Por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes.

INTEGRALES INDEFINIDAS
Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivacióno diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada, concepto que conoceremos a continuación, Antiderivada. La antiderivada de una función f en un intervalo I, es otra función F tal que para todo x ∈ I , F ′( x ) = f ( x ). Ejemplo. Si F es la función definida por F ( x) = 4 x3 + x 2 + 5, entonces F ′( x) =12 x 2 + 2 x. De modo que si f( x) = 12 x 2 + 2 x, entonces f es la derivada de F, y F es la antiderivada de f. Si G es la función definida por G ( x) = 4 x3 + x 2 −17, entonces G también es una antiderivada de f, porque G′( x) =12 x 2 + 2 x. En realidad, cualquier función H definida por H ( x) = 4 x3 + x 2 + C , donde C es una constante, es una antiderivada de f. Teorema 1. Si f y g son dos funciones definidas en el intervaloI, tales que f ′( x) = g ′( x) para todo x ∈ I , entonces existe una constante K tal que f ( x) = g ( x) + K para todo x ∈ I .

“La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El símbolo

∫

denota la operación de antiderivación, y se escribe

F ′( x) = f ( x) y d ( F ( x ) ) = f ( x ) dx ”.∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,

donde

En la igualdad

∫ f ( x) dx = F ( x) + C,

x es la variable de integración, f ( x) es el

integrando y la expresión F ( x ) + C recibe el nombre de antiderivada general o “integral indefinida” de f. Si { F ( x ) + C} es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean f ( x) dx, también es el conjunto de todas las funciones cuya derivada esf ( x ).

1

Eleazar J. García Teorema 2.

Integrales Indefinidas

∫ ∫
∫[

dx = x + C.

Teorema 3.
af ( x ) dx = a

∫

f ( x) dx, donde a es una constante.

Teorema 4. Si las funciones f y g están definidas en el mismo intervalo, entonces
f ( x) + g ( x) ] dx =

∫

f ( x ) dx +

∫

g ( x ) dx.

Teorema 5. Si las funciones f1 , f 2 , f 3 ,… , f n están definidas enel mismo intervalo, entonces

∫[

c1 f1 ( x ) + c2 f 2 ( x ) + c3 f 3 ( x ) + … + cn f n ( x) ] dx = c1

∫

f1 ( x ) dx + c2

∫

f 2 ( x ) dx + c3

∫

f 3 ( x) dx + … + cn

∫

f n ( x ) dx,

donde c1 , c2 , c3 ,… , cn son constantes.
Teorema 6.

Si n es un número racional, entonces

∫
∫

x n dx =

x n +1 +C n +1

n ≠ − 1.

Ejemplos. 1) Evalúe Solución.

∫(5x

4

− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 ) dx

∫

(5x

4

− 8 x 3 + 9 x 2 − 2 x + 7 ) dx = 5

∫

x 4 dx − 8

x 3 dx + 9

∫

x 2 dx − 2

∫

x dx + 7

∫

dx

=5⋅

x5 x4 x3 x2 − 8⋅ + 9⋅ − 2⋅ + 7x + C 5 4 3 2

= x5 − 2 x4 + 3 x3 − x2 + 7 x + C

2) Calcule

∫

1  x  x +  dx x 

2

Integrales Indefinidas Solución.

Lic. Eleazar J. García

∫

1  x  x + dx = x 

∫

x

1

2

( x + x ) dx = ( x
−1

∫

3

2

+x

−1

2

) dx =

x

5

2

5 2

+

x

1

2

1 2

+ C = 2 x 2 + 2x 2 + C 5
5 1

3) Determine Solución.

∫

5t 2 + 7 dt 4 t3

∫

5t 2 + 7 dt = 5 4 t3

∫
5

t2 4 dt + 7 t3
−1 3

∫

1 t3 t 3 2 −4 t 3 dt + 7 t 3 dt = 5 ⋅ 5 + 7 ⋅ 1 + C 4 dt = 5 −3 t3 3
5

∫

∫

5

−1

=3t 3 − 21t

+ C = 3t 3 −

21 1 +C t3

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonométricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación. A continuación se presentan tales teoremas.
Teorema 7.

∫

sen x dx = − cos x + C...