Integrales

Cap´
ıtulo 3
Integrales Dobles

1. Dibuje la regi´n R y expresar de dos maneras posibles la integral doble
o
f (x, y ) dA como integral iterada
R

a) R : y =

√
x; x = 4; y = 0

b ) R : y = x; x = −y + 1; y = 0
2. Grafique la regi´n de integraci´n en las siguientes integrales e invierta
o
o
el orden de integraci´n.
o
42

a)
0

√

f (x, y ) dx dy
y

11

b)
0

√f (x, y ) dy dx
x

3. Calcule
2

2ex dA
D

siendo D el tri´ngulo donde 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1.
a
4. Calcule

√
x y dA
D

siendo D la regi´n limitada por las rectas y = 0, x = 1, y = x.
o
5. Calcule
y2

e− 2 dA
D

siendo D la regi´n limitada por las rectas x = 0, y = 1, 2y = x.
o
6. Calcule

1

x

2x y
e dy dx
y
0 x2

19

20

Integrales Dobles
7. En lasegunda integral se han omitido los extremos de integraci´n.
o
Determ´
ınelos y justifique la respuesta.
3

9

f (x, y ) dx dy =
0

√

f (x, y ) dy dx

y

8. Calcule
(x2 + y 2 ) dA
R

donde R es el tri´ngulo plano con v´rtices en los puntos (0, 0), (2, 0),
a
e
(1, 1).
9. Calcule
(x + 2y ) dA
R

donde R es la regi´n del primer cuadrante limitado por las par´bolas
o
a
y =2x2 , y = 1 + x2 y el eje y .
10. Calcule

1

1

cos (y 3 ) dy dx
√

0

x

11. Grafique la regi´n de integraci´n y calcule
o
o
1

1

√

0

y
dx dy
x
y

12. Bosqueje la regi´n y cambie el orden de integraci´n en la integral
o
o
√

4

y +2

f (x, y ) dx dy
0

√

y −2

13. Determine si se cumple la siguiente igualdad:
1

x

y

1

f (x, y ) dy dx=
0

0

f (x, y ) dx dy
0

0

para cualquier f continua en IR2 .
14. Bosqueje un gr´fico y eval´e la integral.
a
u
1

1

sin (πy 2 ) dy dx
0

x

Problemario

21

15. Calcule
x2 + y 2 dA
D

siendo D el c´
ırculo unitario centrado en (1, 0)
16. Con un adecuado cambio a coordenadas polares, plantee sin evaluar la
siguiente integral
1

x
3

(x2 + y 2 ) 2 dy dx0 −x

17. Bosqueje la regi´n R del plano xy correspondiente a la integral
o
√√
2 4−x2

f (x, y ) dy dx
0

x

y luego calcule
(x2 + y 2 ) dy dx
R

18. Halle la integral
3x dA
D

siendo D la regi´n del segundo cuadrante limitada por las rectas y =
o
−x, y = 0 y la circunferencia x2 + y 2 = 1.
x2 + y 2 dA donde D es la regi´n del plano xy encerrada
o

19. Eval´e
u
D

porx2 + y 2 = 4 y x2 + y 2 = 9.
20. Halle el volumen que queda encerrado por la superficie interior al cilindro y 2 = 16 − x, exterior al cilindro x2 + y 2 = 16 y cuyas tapas son los
planos z = 0 y 5x + 4z = 80.
21. Calcule el volumen del s´lido limitado por las superficies z = 0, z =
o
2
2
5 + x + y , y = x y y = 1 − x.
22. Sea R una placa que se puede ubicar en el primer cuadrante,coincidente
con la regi´n que ocupa un cuarto de c´
o
ırculo unitario. La densidad del
√x+1 . Calcule la masa de la placa.
material est´ dada por ρ(x, y ) =
a
2
2
x +y

23. Considerando la densidad unitaria, calcule el momento polar de inercia
de la regi´n del primer cuadrante en el plano xy limitada por la recta
o
y = x, el c´
ırculo x2 + y 2 = 2 y el eje y.

22

Integrales Dobles24. Sabiendo que el valor medio de una funci´n f (x) en un intervalo [a, b]
o
b
1
b−a

est´ dado por
a

g (x) dx, calcule en el intervalo [0, 2] el valor medio
a

de la funci´n
o

1

sin (t2 ) dt

g (x) =
x
2

25. Examinar los siguientes cambios de orden de integraci´n y determinar
o
el correcto.
a)
1

1

1

(y + x2 ) · sin x dy dx =
x2

0

1
√

0

(y + x2) · sin x dx dy
y

b)
1

1

√

1

y

(y + x2 ) · sin x dy dx =

(y + x2 ) · sin x dx dy

x2

0

0

0

c)
1

1

1

1

(y + x2 ) · sin x dx dy

(y + x2 ) · sin x dy dx =
0

x2

0

y2

26. Calcular
a)
2 4−x2

0

b)
1

√

xe2y
dy dx
4−y

0

1−x2

2
√
−1 − 1−x2

(1 +

x2

+ y 2 )2

dy dx

c)
e(x−y) dA
D

siendo D la...