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1. Un microbio se mueve en una línea recta donde s pies es la distancia dirigida del microbio desde el origen; v pie/s es la velocidad del microbio y a pie/s2 es la aceleración del microbio a los t segundos. Si a = et + e-t y v = 1 y s = 2 cuando t = 0, determine v y s en términos de t.

Solución:
Tenemos a = et + e-t; a: aceleración , t: tiempo

a=dvdt=et+e-t

Integrando:v=(et+e-t)dt=et.dt+e-t.dt
v=et+e-t+C

Para t=0, v=1
1=e0-e0+C⟹C=1
⟹ V(t)=et-e-t+1

Sabemos que:
v= dsdt= et-e-t+1

Integrando:
S=(et-e-t+1)dt=et.dt-e-t.dt+dt

Resolviendo:
S=et+e-t+t+C

Para t = 0, s = 2
2=e0+e0+0+C⟹C=2
⟹S(t)=et+e-t+t+2

2. Calcular la fuerza total que se ejerce contra el fondo de la piscina de natación que se muestra en la figura, cuando está llena de agua:

100-3tgalones/minuto
Solución:
La figura 1 muestra el tanque a donde fluye agua. Queremos calcular la cantidad Q de agua que fluye al tanque durante el intervalo [10, 20].
Subdividimos [10, 20] en n subintervalos, todos de la misma longitud At = (20-10)/n = 10/n
Después elegimos un punto ti en el subintervalo [ti-1, ti], de modo que suponemos que la velocidad con que fluye el agua entre el instanteti-1 y el instante ti es aproximadamente 100 - 3ti* gls./m, es decir hemos obtenido una aproximación de la cantidad Qi de agua en galones que fluye al tanque:
ΔQi≈fti∆t=100-3ti*∆t(gls.)

Por consiguiente, la cantidad total Q que buscamos es aproximada por:
Q=i=1n∆Qi≈i=1n(100-3ti*)∆t (gls.)

Pero la suma de la derecha lo reconocemos como una suma de Riemann de la función f(t) =100 - 3t en el intervalo [10, 20].

Por tanto, concluimos que:
Q=Limn→∞i=1n100-3ti*∆t=1020(100-3t)dt
=100-3t221020
=550 (gls.)

3. Una placa en forma de triángulo isósceles de 4 ft de altura y de 3ft de base se sumerge verticalmente con su base hacia arriba y a 3 ft de la superficie del agua. Calcular la fuerza ejercida por la presión hidrostática en la placa.

Solución:La figura ilustra la posición de la placa. Ahora por semejanza de triángulos 3/4 = w (x)/x , así w (x) = 3x/4 y la fuerza sobre el rectángulo de la placa es aproximada por dF=(7 - x) 3xdx/4

Por tanto la fuerza total F es:

F=0434δ7-xx dx

=3δ4047-x2 dx
=3462.372X2-X3304=1622.4 lb

4. La cara de una presa adyacente al agua es vertical y su forma es la de un triángulo isósceles de 250 ft de ancho en la parte superior y 100 ft de altura en el centro. Si el agua está a 10 ft de profundidad en el centro, hallar la fuerza total sobre la presa debido a la presión del agua.Solución:

Como la profundidad del agua es de 10 ft, entonces la superficie del agua se obtiene por semejanza de triángulos
250100=w(10)10⟹w10=25

Colocamos la parte de la presa en el sistema de coordenadas con el eje y sobre la superficie del agua, como se observa en la figura

Cada tira en la presa tiene área A(xi) = w(xi) Ax donde, por semejanza de triángulos
2510=wxi10-xi
de donde
xwxi=52(10-xi)

El área de la tira horizontal de la presa es
Axi=52(10-xi)Δx
y la fuerza hidrostática que actúa sobre esta tira es aproximado por
ΔFi=δxi5210-xiΔx, 0≤xi≤10
Por consiguiente, la fuerza hidrostática es:
F=010δx.5210-xdx
=52δ01010x-x2dx
=52δ5x2-x33010

=12503δ

=26000 lb

5. Un depósito, con forma de un cono circular recto (véase la figura 6), está llenode agua. Si la altura del tanque es de 10 pies y el radio en la parte superior es de 4 pies, encuentre el trabajo hecho (a) al bombear el agua hasta el borde superior del depósito, y (b) al bombear el agua hasta una altura de 10 pies por encima del borde superior del depósito.
∆W=δπ(4y10)2(10-y)∆y
W=δπ010(4y10)2(10-y)dy

Fig. 6
Solución:
(a) Coloque el depósito en un sistema de...