interpolacion newton c++

Con diferencias divididas



Explicacion:
Interpolacion es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuacion cuya curva pase por todos ellos o lo mas cerca posible.

El metodo deinterpolacion de Newton es un poco mas complicado que el de Lagrange, pero como todo lo de Newton, es mas preciso.

Por supuesto que este metodo tiene todo un desarrollo teorico para llegar a la ecuaciongeneral, pero es demasiado largo y para fines practicos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el metodo y como aplicarlo.

La ecuación general para este método es la siguiente:


Loimportante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.

Aqui es donde el metodo toma su nombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que masse recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:

Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen asu lado tantas columnas como puntos son -1, asi si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Asi para el caso de tener 5 puntos el acomodo quedaria mas o menos asi:

X
f(x)
f(xi,xi)
f(xi,xi,xk)
......
x0
f(x0)
f(x1,x0)
f(x2,x1,x0)


x1
f(x1)
f(x2,x1)

f(x3,x2,x1,x0)

x2
f(x2)
f(x3,x2)
f(x3,x2,x1)

f(x4,x3,x2,x1,x0)
x3
f(x3)


f(x4,x3,x2,x1)

x4
f(x4)
f(x4,x3)f(x4,x3,x2)




La notacion f(x1,x0) se interpreta de la siguiente manera:

,asi como f(x2,x1) es: , esto para b1.

Para b2 la notacion f(x2,x1,x0) es: y asi se van obteniendo sucesivamentetodos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas(en las que aparece la leyenda bn cuando pasas el mouse en el ejemplo de arriba).

Coneste ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:

x
f(x)
_
_
_
-3
2


_
7
-1

_

17
9
_
_
_
27
11


_
Los valores de b se encuentran en las celdas que tienen borde...