Intervalo abierto y cerrado

Inte rva l o a b i e rto y ce rra d o

Definic ión de interv al o S e l l a m a i n t e r v a l o a l c o n j u n t o d e n ú m e r o s r e a l e s c o m p r e n d id o s e n t r e o t r o s d o s d a d o s : a y b q u e s e l la m a n e x t r e m o s d e l i n t e r v a l o .

Intervalo abiert o Interv alo ab ierto, (a, b), es e l c onj unt o de tod os lo s númer osreales may ores que a y men ores que b . (a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado Interv alo cerrad o, [a, b], es el c onj unto de t odo s l os númer os reales may ores o igua les que a y menore s o iguales que b . [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo sem iabiert o po r la i zquierda Interv alo semiab ierto p or la izquie rda , (a, b], es el conj u nt o de todo slos núme ros reale s may ores que a y men ores o igua l es que b. (a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo sem iabiert o por la derecha Interv alo se miab ierto p or la derecha , [ a, b), es e l c onj unto d e todos l os númer os re ales may ore s o iguales que a y men ores que b . [a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando que remo s no mbr ar un c o njun to de p un to s fo rmadopo r do s o m á s d e e s t o s i n t e r v a l o s , s e u t i l iz a e l s ig n o ( u n i ó n ) e n t r e e llo s .

Se m i rre cta s
Las sem irrecta s es t án d e t e r m in a d a s por un núm ero. En u na

s e m i r r e c t a s e e n c u e n t r a n t o d o s lo s n ú m e r o s m a y o r e s ( o m e n o r e s ) q u e él.

x > a
(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

x ≥a
[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}

x < a
(- ∞, a) = { x / -∞ < x < a}

x ≤ a
(- ∞, a] = { x / -∞ < x ≤ a}

E n to rn o s

Definic ión de ent orn o Se l l ama ent orno de centr o a y radio r , y s e deno ta po r E r(a) o E(a,r), a l interv al o ab ierto (a - r, a+r). Er (a) = (a- r, a+r)

Lo s entorn os s e exp res a n c o n ayud a de l v alor abs olut o. E r ( 0) = ( - r , r ) s e e x p r e s a t a m b ié n | x | < 0 , o b ie n , - r < x < r . E r ( a ) = ( a - r , a + r ) s e e x p r e s a t a m b ié n | x - a | < 0 , o b i e n , a - r < x < a+r.

Entorn os latera les Po r l a iz qu ie rda Er (a-) = (a- r, a )

Po r l a d erec h a Er (a+) = (a, a+r)

Entorn o redu cido S e e m p l e a c u a n d o s e q u ie r e s a b er q u é p a s a e n la s p r o x im id a d e s d e l p u n t o , s i n q u e i n t e r e s e l o q u e o c u r r e e n d ic h o p u n t o . E
*

r

(a ) = { x

(a-r, a+r), x ≠ a}

V a l or a b sol uto d e un núm e ro re a l
V a l o r a b s o l u t o d e u n n ú m e r o r e a l a , s e e s c r ib e | a | , e s e l m i s m o número a c ua ndo es pos itiv o o cero, y opuest o d e a, s i a es neg ativ o.

|5| = 5 |x| = 2 |x|< 2 |x|> 2 |x −2 |< 5

|-5 |= 5 x = −2 − 2 < x < 2 x< 2 ó x>2 − 5 < x − 2 < 5 5 + 2

|0| = 0 x = 2 x (−2, 2 ) (2, +∞)

(−∞ , 2 )

− 5 + 2 < x <

− 3 < x < 7

P r o p i e d a d e s d e l v al o r ab s o l u t o

1 L o s n ú m e r o s o p u e s t o s t ie n e n i g u a l v a l o r a b s o l u t o .|a| = |−a| |5| = |−5| = 5

2 E l v a l o r a b s o l u t o d e u n p r o d u c t o e s ig u a l a l p r o d u c t o d e l o s
v alores ab so lut os de lo s fac to res . |a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2) |

|− 10| = |5| · |2|

1 0 = 10

3El v a lor abs olu to de una suma es meno r o igu al que la sum a
de lo s v al ores abso luto s de lo s s umandos . |a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2) | | 3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

D i sta nci a
L a d i s t a n c i a e n t r e d o s n ú m e r o s r e a l e s a y b , q u e s e e s c r ib e d ( a , b), se de fi ne c o mo el v a lor ab soluto de la dife rencia de ambos

número s: d(a, b) = |b − a| La dista ncia e nt re −5 y 4 es : d(−5, 4) = |4 − (−5)| = |4 + 5| = |9|