Intervalos de confianza

Solucionario

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Intervalos de confianza

ACTIVIDADES INICIALES

14.I.

  Calcula z α tal que P  − z α < Z ≤ z α  = 0,87.   2   2 2  P  − z α < Z ≤ zα   2 2   P  Z ≤ zα   2  P  Z ≤ zα   2    = P  Z ≤ zα     2    − P  Z < − zα     2    = 2P  Z ≤ zα     2    − 1 = 0,87  2P  Z ≤ zα     2   = 1,87   

  = 0,935. Buscando en elinterior de la tabla de la N(0, 1) se observa que el valor  

  = 0,935 se obtiene si zα = 1,51.   2

14.II. Calcula zα tal que P(Z ≤ zα ) = 0,867. Buscando 0,867 en el interior de las tablas de la N(0, 1) se obtiene P(Z ≤ zα) = 0,867 para zα = 1,115.

ACTIVIDADES PROPUESTAS
14.1. (PAU) Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatroregularmente. Halla, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estudiar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente. n = 325

ˆ p=

120 325

ˆ ˆ p (1 − p ) = n

0,38 · 0,62 = 0,027 325
   = 2P  Z ≤ zα   2      − 1 = 0,94  2P  Z ≤ zα   2     = 1,94   

 El valor crítico zα es tal que: P  −zα < Z ≤ zα  2 2  2   P  Z ≤ zα  2    = 0,97 

 Buscando en el interior de la tabla de la N(0, 1) se observa que el valor P  Z ≤ zα  2  zα = 1,88.
2

  = 0,97 se obtiene si  

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza, se tiene:  ˆ ˆ p (1 − p )  ˆ IC =  p  zα  = ( 0,38  1,88 · 0,027 ) = (0,329; 0,431)   n 2  

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Solucionario

14.2. (PAU) Tomada al azar una muestra de 500personas de una determinada comunidad, se encontró que 300 leían la prensa regularmente. Halla, con una confianza del 90%, un intervalo para estimar la proporción de lectores entre las personas de esa comunidad. ˆ ˆ p (1 − p ) 0,6 · 0, 4 300 3 ˆ = = 0,0024 n = 500, p = = = 0,6, 500 5 n 500  El valor crítico zα es tal que: P  − zα < Z ≤ zα  2  2 2  ˆ Por tanto: IC =  p  zα  2     = 2P  Z ≤zα   2      − 1 = 0,90  P  Z ≤ zα   2     = 0,95  zα = 1,645.   2

ˆ ˆ p (1 − p ) n

  = ( 0,6  1,645 · 0,0024 ) = (0,596; 0,604)  

14.3. (PAU) Sabemos que una variable estadística se comporta como una N( μ , 10). Para estimar μ extraemos una muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual a 37. Estima μ mediante un intervalo de confianza del 90% y del 95%.  σ . a) Los intervalos de confianza para la media tienen la forma: IC =  x  z α  n 2  

 El valor crítico zα es tal que: P  − zα < Z ≤ zα   2 2 2
 10 El intervalo pedido es:  37  1,645 · 100  b) Si la confianza es del 95%, zα = 1,96.
2

   = 2P  Z ≤ zα     2

   − 1 = 0,90  P  Z ≤ zα     2

  = 0,95  zα = 1,645.   2

  = (35,355; 38,645). 

 10 El intervalo de confianza es:  37  1,96 ·  = (35,04; 38,96). 100  

14.4. (PAU) El peso de los alumnos de Bachillerato de cierta ciudad tiene una media desconocida y una desviación típica σ = 5,4 kg. Tomamos una muestra aleatoria de 100 alumnos de Bachillerato de esa ciudad. Si la media de la muestra es de 60 kg, calcula con un nivel de confianza del 99% el intervalo de confianza para elpeso medio de todos los alumnos de Bachillerato de la ciudad. A una confianza del 99% le corresponde zα = 2,575.
2

 5, 4  El intervalo pedido:  60  2,575 ·  = (58,6095; 61,3905). 100  

14.5. (PAU) Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y varianza 3600. Con una muestra de suproducción elegida al azar y un nivel de confianza del 95% ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2). a) Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) ¿Cuál sería el error de su estimación si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9%?

a) σ2 = 3600  σ = 60 N( μ , 60). Los intervalos de...