Introduccion a ecuaciones diferenciale sparciales

Instituto Tecnológico de Tuxtepec

NOMBRE DEL ALUMNO:
Deceano Deceano Deceano

NOMBRE DEL CATEDRÁTICO:
Juan Manuel Rodríguez López

NOMBRE DE LA MATERIA:
Matemáticas V

TEMA:
Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales

INDICE
6.- Instrucción a las ecuaciones diferenciales------------------------------------------------3Introducción------------------------------------------------------------------------------3
6.1.- Definiciones------------------------------------------------------------------------3
6.2.- Forma general de la ecuación parcial de segundo orden---------------------4
6.3.- Clasificación de las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden-5
6.4.- Método de solución de ecuaciones diferencialesparciales------------------7
6.5.- Aplicaciones-----------------------------------------------------------------------15
Referencias bibliográficas--------------------------------------------------------------20

6.- INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales ordinarias normalmente resultan de considerar sistemas en los que sucomportamiento depende de una sola variable. Por ejemplo, el movimiento de un sistema masa-resorte donde el resorte tiene masa despreciable, el cual solo depende de la variable tiempo. El comportamiento de los sistemas reales normalmente depende de más de una variable. Por ejemplo, el movimiento de un cuerpo elástico depende tanto del tiempo como del punto del cuerpo que se considere, por tanto lasecuaciones que gobiernan el comportamiento del sistema son ecuaciones diferenciales parciales (EDP).
En este capítulo sólo se considerarán ecuaciones diferenciales parciales lineales. Para la solución de estos problemas se estudiarán los métodos de separación de variables y el método de Laplace para obtener la solución analítica. El programa Matlab tiene un toolbox que resuelve ecuaciones diferencialesmediante el método de los elementos finitos, el cual se usará para hallar la solución numérica de estos problemas.
6.1 DEFINICIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.
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Diferenciales Parciales
Una cantidad física puede ser expresada por una función de dos o más variables. Si queremos saber elcomportamiento de tal función sin conocerla, (pero teniendo algunos otros datos), tenemos que plantearnos una ecuación tal que ésta esté en función de sus derivadas parciales. Existen distintos fenómenos que pueden ser descritos por una misma ecuación.
En general:
DEFINICION: Una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) es una relación de la forma:
F
(x, t, u, ux1, , …, uxn−1 , ut, …, Dαu) =0
Donde: u = u(x, t) es una función de la variable independiente
x = (x1,…, xn−1) ∈ Rn−1 y de la variable temporal t ∈ R, además de ser la incógnita; y α = (α1,…, αn) es un multi índice perteneciente a Zn + ⊂ Rn,
De tal forma que Dαu denota una derivada parcial iterada de u de orden |α| = α1 + α2 +… + αn, en la que derivamos α1 veces con respecto a la variable t y αj veces en cada una de lasvariables xj .
Observemos que |α| es el orden de la derivada Dαu. Por definición si α = (0, 0,…, 0) entonces Dαu ≡ u. Podríamos simplemente denotar a t como la variable xn, puesto que es una más de las variables consideradas. Sin embargo, de acuerdo con nuestra concepción del universo, es conveniente distinguir la variable temporal de las demás.
La notación que usaremos será como sigue:Consideremos una función u que depende solo de dos variables independientes x e y. Usualmente se escribe de la siguiente forma
u = u(x, y)
Lo cual, en este caso, designa a u como una función de las variables independientes x e y. Las derivadas parciales las escribiremos como sigue:
Con lo anterior podemos representar a una EDP en forma general como en, donde F es una función de las variables...