Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Tema 1-1

TEMA 1.- (Introducción. Soluciones.)
Introducción
En Matemáticas para Ingeniería se presentan una gran variedad de problemas en los que se desea determinar un elemento variable a partir de su coeficiente de variación. Es decir, se trata de determinar una función desconocida mediante datos relacionados por una ecuación que contiene, al menos, una de lasderivadas de esa función desconocida. Por ejemplo, se quiere saber la posición de una partícula móvil conociendo su velocidad o aceleración, o bien la carga en un circuito eléctrico a partir de la intensidad de corriente que circula por él. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales y su estudio constituye una de las ramas de las matemáticas que tiene más aplicaciones. La historia delas ecuaciones diferenciales empezó en el siglo XVII cuando Newton, Leibniz y los Bernouilli resolvieron algunas ecuaciones sencillas que se presentaron en problemas de Geometría y Mecánica . La experiencia ha demostrado que es difícil obtener teorías matemáticas de gran generalidad acerca de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, salvo para muy pocos casos. En principio, lasclasificaremos de acuerdo con las dos propiedades siguientes: Clasificación según el tipo: a) Ecuaciones diferenciales ordinarias, si contienen sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una única variable independiente, como por ejemplo: dy − 5y = 1 (o bien y ′ − 5 y = 1) dx
( x + y) d x − 4 y d y = 0

du dv − =v dx dx

(o bien

u ′ - v ′ = v)

dy d2y −2 + 6y = 0 2 dxdx

(o bien

y ′′ - 2 y ′ + 6 y = 0)

Un ejemplo sencillo de ecuación diferencial ordinaria es f ′( x ) = f ( x ) (Si y = f ( x ) la ecuación se suele presentar de la forma y ′ = y ) que se satisface, en particular, para la función exponencial y = f ( x) = e x . Se podrá demostrar que toda solución de esta ecuación ha de ser de la forma f ( x) = C e x , donde C es una constante arbitraria.b) Ecuaciones diferenciales parciales (o ecuaciones en derivadas parciales), si contienen las derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes, como por ejemplo: ∂u ∂v =− con u = u (x,y) , v = v(x,y) ∂x ∂x

Ecuaciones diferenciales

Tema 1-2

x

∂u ∂u +y = u con u = u ( x, y ) ∂x ∂y

∂2 u = x + y con u = u(x,y) ∂ x∂y a2 ∂2u ∂2u ∂u = 2 − 2k 2∂t ∂x ∂t con u = u ( x, t )

Un ejemplo de ecuación en derivadas parciales podría ser la llamada Ecuación de Laplace, ∂ 2 f ( x, y ) ∂ 2 f ( x, y ) + =0 ∂x2 ∂ y2 que se presenta en Electricidad y Magnetismo, en Mecánica de Fluidos, así como en otros capítulos de Física Teórica. Dicha ecuación, admite distintos tipos de soluciones entre los cuales están:

f ( x, y ) = x + 2 y f ( x, y ) = e xcos y f ( x, y ) = log( x 2 + y 2 )

Clasificación según el orden: Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada más alta, así las clasificaremos en ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden, etc. Ejemplos: dy d2y −2 + 6y = 0 2 dx dx
⎛dy⎞ d2y + 5⎜ 2 ⎜ d x ⎟ + 4y = x ⎟ dx ⎝ ⎠
3

es una ec. dif. ordinaria de 2º orden

es una ec. dif. ordinaria de 2º ordendx − 4y = 0 dy

( x + y) d x − 4 y d y = 0 ≡ ( x + y)

es de primer orden.

y 2 y′′′ − 2 x y′′ + (3 x 2 − 2 xy ) y′ = sen x es de tercer orden c2 ∂4u ∂2u + =0 ∂ x4 ∂t 2 es una ec. dif. parcial de 4º orden.

Empezaremos el estudio con las ecuaciones diferenciales ordinarias:

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Tema 1-3

Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n, con y comovariable dependiente y x como variable independiente, es decir en y(x), puede representarse mediante la expresión: dy d2 y dny F ( x, y , , 2 ,L, n ) = 0 F ( x, y, y ′, y ′′, L , y ( n ) = 0 dx dx dx El objetivo fundamental en nuestro estudio de ecuaciones diferenciales es llegar a la resolución de algunas de ellas. Es decir, obtener funciones diferenciales apropiadas, definidas ya sea implícita o...