Investigacion de operaciones fundamentos

´ REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO PARA EL PODER POPULAR DE LA DEFENSA ´ UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA ´ U.N.E.F.A. - NUCLEO LARA

UNIDAD I: Fundamentos de la Optimizaci´n No Lineal o

Definiciones b´sicas, Ejemplo y a caracterizaci´n de Convexidad o

Realizado por: Lcda. Jessica P´rez e

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En est´ primera unidad debemos dar un sustentomatem´tico a todos los estudios a a referentes a la optimizaci´n no lineal que nos ayudaran a dar cuerpo al contenido que o ser´ desarrollado en esta c´tedra. a a

Derivadas Parciales
Derivadas Pariciales de primer orden: Se define la derivada parcial de una funci´n de varias variables, f (x1 , x2 , ..., xn ) con n > 1, con respecto a (x1 , x2 , ..., xn ), o como: f (x1 , ..., xi + ∆xi , ...,∆xn ) − f (x1 , ..., xi , ..., xn ) ∂f = l´ ım ∂xi ∆xi ∆xi →0 Ejemplo: Sea f (x1 , x2 ) = 2x3 − 3x1 x2 + 8x2 . Determinemos las derivadas parciales de dicha 1 funci´n de varias variables, la cual es continua por ser un polinomio y as´ se garano ı tiza que todas sus derivadas existen.

∂f = ∂x1

6x2 − 3x2 1

∂f = ∂x2

−3x1 + 8

Derivadas Parciales de Segundo Orden: Si se considera una funci´nde dos o variables, entonces sus derivadas tambi´n son funciones de dos variables, por lo e que podemos considerar sus derivadas parciales, las cuales son llamadas segundas derivadas parciales de f . Si se tiene una funci´n de dos variables, f (x1 , x2 ) se tiene o que: ∂2f ∂x2 1 ∂2f ∂x1 ∂x2 ∂2f ∂x2 ∂x1 ∂2f ∂x2 2 Ejemplo: Sea f (x, y) = x3 + x2 y 3 − 2y 2, determinaremos las derivadas de segundoorden de esta funci´n. Para ello es indispensable primero determinar las derivadas parciales o 2 ∂ ∂f ( ) ∂x1 ∂x1 ∂ ∂f = ( ) ∂x2 ∂x1 ∂ ∂f = ( ) ∂x1 ∂x2 ∂ ∂f = ( ) ∂x2 ∂x2 =

de primer orden. As´ las primeras derivadas de f est´n dadas por: ı a

∂f = ∂x

3x2 + 2xy 3

∂f = ∂y

3x2 y 2 − 4y

Por consiguiente,

∂2f = ∂x2 ∂2f ∂y∂x

6x + 2y 3 = 6xy 2
∂2f ∂x∂y

∂2f ∂x∂y ∂2f = ∂y 2= 6xy 2 6x2 y − 4

Observaci´n: Si las derivadas o

y

∂2f ∂y∂x

existen y son continuas, entonces

∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x

Gradiente
Sea una funci´n de varias variables f (x1 , x2 , ..., xn ) con n > 1, se puede definir el o gradiente de f como la matriz unicolumna formada por las derivadas parciales de primer orden, se denota por, ∇f , y esta dado por:  ∂f 
∂x1 ∂f ∂x2

Ejemplo:   ∇f =    

. . .

∂f ∂xn

      

Si consideramos la funci´n, f (x1 , x2 ) = 2x3 −3x1 x2 +8x2 , en ejemplos anteriores fueron o 1 determinadas las derivadas parciales de primer orden de esta funci´n las cuales son: o
∂f = 6x2 − 3x2 ∂x1 1 ∂f = −3x1 + 8 ∂x2

De aqui el gradiente esta dado por,

3

Hessiano

∇f = 



6x2 − 3x2 1 −3x1 + 8





Sea f (x1 ,x2 , ..., xn ) una funci´n de varias variables con n > 1, se puede definir la o matriz hessiana como la matriz cuadrada de orden n × n cuya componente ij− ´sima es e el elemento ∂2f ∂xi ∂xj Si consideramos una funci´n de dos variables, digamos f (x1 , x2 ), entonces el hessiano o esta formado por las cuatro derivadas parciales de segundo orden de la funci´n, esto es: o H(x1 , x2 ) =
∂2f ∂x2 1 ∂2f∂x2 ∂x1 ∂2f ∂x1 ∂x2 ∂2f ∂x2 2

Ejemplo: Sea la funci´n f (x, y, z) = x2 ey , determinaremos la construcci´n de la mao o triz hessiana. Para esto es necesario determinar en primer lugar las derivadas parciales de primer orden, luego las de segundo orden y de all´ podremos construir dicha matriz. ı
2 ∂f = 2xey ∂x 2 ∂f = 2x2 yey ∂y

2

Y como estas derivadas son funciones de dos variables yadem´s son continuas (por a ser polinomios), entonces podemos determinar las derivadas de segundo orden.
∂2f = ∂x2

2ey

2

∂2f = ∂x∂y

4xyey

2

∂2f = ∂y∂x

4xyey

2

∂2f = ∂y 2

2x2 ey + 4x2 y 2 ey

2

2

De aqui la matriz Hessiana esta dada por:   2 2 2ey 4xyey  H(x1 , x2 ) =  y2 2 y2 2 2 y2 4xye 2x e + 4x y e

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Combinaciones Lineales
Una combinaci´n...