Investigacion del cocleoide

Investigaci´n y Docencia o
por N´stor Aguilera e

El seno, el ocho y el caracol
Introducci´n o
El seno y otras funciones trigonom´tricas aparecen en muchos modelos mae tem´ticos, lo que afortunadamente se refleja en c´mo se introducen en la ena o se˜ anza. Primero las estudiamos a partir de la semejanza de tri´ngulos y vemos n a c´mo “resolver” tri´ngulos; luego las estudiamos mirando a unpunto que se o a mueve sobre la circunferencia unitaria; y m´s adelante, ya con herramientas a de c´lculo, en las soluciones de ecuaciones diferenciales al estudiar fen´menos a o peri´dicos como las vibraciones. o Hay una diferencia marcada entre las dos primeras etapas. En la primera, cuando se estudian semejanzas de tri´ngulos, el concepto de funci´n no es muy a o expl´ ıcito y los angulos queintervienen se expresan en grados. A partir de la ´ segunda etapa en cambio, el concepto de funci´n es bien expl´ o ıcito y los argumentos pasan a expresarse en radianes que m´s tarde en realidad se piensan como a u ´ n´ meros reales y no como angulos. Esta equivalencia entre grados, radianes y reales, nos obliga a una “traducci´n” entre estos conceptos, como si tuvi´ramos o e que pensar en dosidiomas diferentes a la vez. M´s a´ n, es muy posible que para a u ciertas tareas “funcionemos en modo grados” y para otras “en modo radianes”. Claro que desde el punto de vista del aprendizaje estas “traducciones” son dif´ ıciles de encarar, y a´ n la gente grande (como yo) a veces tiene problemas u con esta traducci´n. o En estas notas vamos a situarnos en el nivel donde reci´n se comienzan e aestudiar las funciones trigonom´tricas expresadas en radianes o reales (pero e haciendo uso indistinto de grados o radianes), para explorar algunas propiedades del seno. Nuestra exploraci´n comienza con un modelo concreto del gr´fico del seno, o a viendo algunas propiedades conocidas y otras que no lo son tanto. Continuamos en la Secci´n 2 tratando de dar una expresi´n matem´tica para escribir el o o an´ mero “8”, encontrando la lemniscata de Gerono, y a partir de la cual consu truimos una vistosa guarda para un vaso. Muchas de estas exploraciones se basan en enrollar un rect´ngulo alrededor de un cilindro, y al hacer un estudio a detallado de este proceso en la Secci´n 3, encontramos otra curva cl´sica: la del o a “caracol” o cocleoide. Si bien el nivel de las notas es elemental, he incluidoalgunos pocos problemas (que est´n se˜ alados) donde el conocimiento de c´lculo permite avanzar m´s. a n a a

P´g. 2 a

El seno, el ocho y el caracol

1.

Manos a la obra

Es usual hacer el primer gr´fico del seno entre 0 y 2π, pero aqu´ lo hacemos a ı entre −π y π, como en la Figura 1, para ilustrar algunas de sus propiedades.
1 1/2 −π −3π/4 −π/2 −π/4 π/4 −1/2 −1 π/2 3π/4 π

Figura 1:el gr´fico del seno entre −π y π a En las abscisas est´n marcados algunos puntos importantes, pero faltan otros a como π/3 o π/6, que no hemos incluido para no “ensuciar” nuestro gr´fico, y a suponiendo que el lector ya los conoce. Hemos remarcado adem´s las tangentes en 0 y π/2. La primera, en azul, a nos dice que sen(x) ≈ x para x pr´ximo a 0, o mientras la segunda tangente, en verde, nos diceque sen(x) ≈ 1 para x pr´ximo a π/2. o

A partir de este gr´fico y como preludio al resto del art´ a ıculo, en esta secci´n o haremos varios experimentos pr´cticos. Para hacerlos necesitaremos tener el a gr´fico en un papel, o mejor cartulina, en forma de rect´ngulo, y una tijera a a o cortaplumas. Como es importante que el gr´fico est´ bien dibujado, en la a e ıculo he incluido uno suficientementegrande que Figura 21 al final de este art´ a se podr´ recortar para hacer el experimento (. . . pero no he incluido tijeras o cortaplumas). Ayudados por el esquema de la Figura 2, preparamos ahora nuestro material de laboratorio recortando el rect´ngulo a lo largo de la curva del seno, quedando a dos regiones (indicadas con distintas tonalidades en la figura) que separamos.

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Figura 2:...