Isomorfismo en espacios vectoriales

Isomorfismos

Ya casi estamos a punto de poder unir todas las piezas del rompecabezas, pero aún nos hace falta una definición, que envuelve el corazón de toda esta unidad: el de isomorfismo entreespacios vectoriales. Antes de escribir formalmente este importantísimo concepto, veamos un ejemplo sencillo, aunque fuera de nuestro contexto de estudio.

Supongamos que nos encontramos en unplaneta lejano, donde solamente conocen dos “números”, el 0 y el 1, y la única forma de operarlos la han definido como sigue:



Pero en otro lugar del espacio, en vez de números conocen las letrase y a, e inclusive conocen una forma de “operar” estas letras, como sigue:



No es difícil darse cuenta que en ambos sitios, en realidad están definiendo una operación que, aunque no esexactamente la misma, tiene el mismo fondo. Para precisar esta idea, podemos definir una función:

Dada por:

En esta parte, estamos “identificando” el 0 con e, y el 1 con a. Pero lorealmente importante de esta función que hemos definido, es que “preserva” las operaciones de ambos conjuntos, en el sentido de que:

Pensamos en esto, como que la tabla de sumar de un conjunto,corresponde exactamente a la tabla de multiplicar del otro conjunto.

En este punto, podemos decir que nuestra función no es cualquier función, sino que es tal que preserva las operaciones de ambosconjuntos. De hecho, el ejemplo que hemos dado, corresponde a lo que en álgebra abstracta se llaman grupos, y la función es conocida como “homomorfismo de grupos”.
En nuestro contexto, en vezde grupos estudiamos espacios vectoriales y en lugar de homomorfismos de grupos, transformaciones lineales. Esto es, una transformación lineal no es otra cosa, sino una forma de trasladarse de unespacio vectorial a otro, de tal forma que la forma de operar de un lado se corresponde con la del otro!
Finalmente, vemos que la función , no solamente preserva las operaciones, sino que además es...