Itegracion Por Fracciones Parciales

➊ Como el Término del Numerador es de mayor grado que el termino del Denominador tenemos una Fracción Impropia, por lo cual tenemos que dividir los términos para encontrar la Parte Entera y la ParteFraccionaria Equivalente de la Fracción

…….x^4
-----------------------
x³ - 3x² + 3x – 1

…………6x² - 8x + 3
x + 3 + ------------------- ⑭
………….(x – 1)³

➋ Expresamos la Fracción como unaSuma de Fracciones Parciales

6x² - 8x + 3........A……….B…...…….C
---------------- = ---------- + ------------ + ---------- ⑩
….(x – 1)³.......(x – 1).....(x – 1)² ….(x – 1)³

➌ Existen 2 Métodospara resolver Fracciones Parciales

* Sustitución

* Igualación de Coeficientes

➍ Vamos a utilizar el Método de Igualación de Coeficientes, que consiste en Dividir todos los Términos entre elComún Denominador [ (x – 1)³ ], para eliminar los Denominadores de las Fracciones, después la Expresión la igualamos com los Coeficientes, del Termino [6x² - 8x + 3]

A(x - 1)² + + B(x - 1) + C = 6x²- 8x + 3

A(x² - 2x + 1) + B(x - 1) + C = 6x² - 8x + 3

Para
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x² → A = 6

x → -2A + B = - 8

x⁰ → A – B + C = 3

➎ Resolvemos Sistema

A = 6 → ⑪ ,

-2A + B = - 8

-2[6] + B =- 8

-12 + B = - 8

B = - 8 + 12

B = 4 → ⑫

A – B + C = 3

6 – 4 + C = 3

2 + C = 3

C = 3 – 2

C = 1 → ⑬

➏ Sustituye [⑪ , ⑫ y ⑬] en ⑩

6x² - 8x + 3.........A……….B………...C------------------ = ---------- + ---------- + ---------- ⑩
…(x – 1)³....... .(x – 1).....(x – 1)² …(x – 1)³

.....6……….4………..1
--------- + ---------- + ----------
(x – 1)....(x – 1)² …(x – 1)³

➐Juntamos todos los Términos pata Integrar

…………6x² - 8x + 3
x + 3 + ------------------- ⑭
………….(x – 1)³

................6……….4………..1
x + 3 + --------- + ---------- + ----------
……….(x –1).....(x – 1)² …(x – 1)³

∫ x dx = ½ x² → ⑮

∫ 3 dx = 3x → ⑯

Esta integral es del del Tipo
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…du
∫ ----- = Ln u + C
….u

Donde:
━━━

u = x - 1

du = dx

......6 dx
∫...