Juan

Aplicando la Transformada de Laplace a Redes Eléctricas
J.I. Huircán Universidad de La Frontera April 15, 2006
Abstract Se aplica la Transformada de Laplace a distintas redes eléctricas, primero excitaciones básicas conocidas, luego, excitaciones tipo exponencial y sinusoidal. La parte más compleja resulta al determinar la transformada inversa.

1

Introduction

La Transformada deLaplace, Lfg, permite analizar redes eléctricas lineales con excitaciones distintas a la sinusoidal y la continua. Se plantean las ecuaciones en el dominio del tiempo, para luego aplicar la transformada, quedando un sistema de ecuaciones lineales en el dominio s. Se resuelve el sistema para la variable deseada y se aplica la transformada inversa L 1 fg para tener la respuesta en el tiempo. Otra formaconsiste en aplicar directamente la transformada de Laplace al circuito, y luego plantear las ecuaciones de Kircchof f en el dominio s. La di…cultad de ambos casos será determinar la Transformada inversa de Laplace.

2
2.1

Transformada de Laplace
De…nición

La transformada se de…ne de acuerdo a (1) y su inversa de acuerdo a (2). Z
1

F (s) = L ff (t)g = f (t) = L
1

f (t)e 1 Z

stdt F (s)est ds

(1) (2)

0

+j1 j1

fF (s)g =

2 j

Así, se establecen tranformadas básicas en la Tabla 1.

1

Table 1: Resumen. f (t) (t) u(t) t e at sin !t cos !t e at sin !t e at cos !t F (s) = $ ff (t)g 1
1 s 1 s2 1 s+a ! s2 +! 2 s s2 +! 2 ! (s+a)2 +! 2 s+a (s+a)2 +! 2

2.2

Propiedades

Propiedades en el tiempo tienen su transformada de acuerdo a la Tabla 2.

Table2: Resumen. Linealidad Derivada Integral Valor …nal Función en el tiempo K1 f1 (t) + K2 f2 (t) Rt
0 df (t) dt d2 f (t) dt2

Transformada K1 F1 (s) + K2 F2 (s) sF (s) f (0) 2 s F (s) sf (0) f 0 (0)
s!0

t!1

f (x)dx lim f (t)

lim sF (s)

F (s) s

3

La Transformada y elementos pasivos
Dado que para el capacitor se tiene que dv (t) dt Z t
1

i (t) = C v (t) = 1 C

(3) i( )d =1 C Z
t

i ( ) d + v (t0 )

(4)

t0

Aplicando la Lfg a (3), se tiene L fi (t)g = I(s) = CL I(s) = CsV (s) 2 dv (t) dt cv(t0 )

(5)

Para la ecuación (4) Z 1 t V (s) = L i ( ) d + v (t0 ) C t0 I(s) v (t0 ) = + sC s 1 C Z
t

=L

i( )d

+

t0

v (t0 ) s (6)

Si las condiciones iniciales son cero, entonces, Para una bobina se tiene

V (s) I(s)

=

1 sC

v(t) i(t)= L =

di(t) dt Z t 1 v(x)dx + i(t0 ) L t0

(7) (8)

Luego para (7) y (8) en el dominio s se tiene V (s) = LsI(s) Li(t0 ) V (s) i(t0 ) I(s) = + sL s Si las condiciones iniciales son cero,
V (s) I(s)

(9) (10)

= sL:

Para el resistor, dado que v(t) = R i(t), entonces, aplicando la transformada se tiene V (s) = L fR i(t)g = RI(s):

3.1

Elementos pasivos en el espacio s

Deacuerdo a las ecuaciones (5) y (6) se establece que el capacitor será represnetado de acuerdo a la Fig. 1.
I(s) + V(s) + _ 1 sC v(to) s + V(s) _ 1 sC C v(to) I(s)

Figure 1: Capacitor en el espacio s. De acuerdo a (9) y (10), el inductor se representa de acuerdo a la Fig. 2. 3

I(s)

I(s)

+ V(s) _ +

+

sL
L i(to)

V(s) _

sL

L i(to)

Figure 2: el inductor en el espacio s.4
4.1

Aplicación a redes eléctricas
Circuito RL serie

Sea la red sin condiciones iniciales
R L

v(t)=V a

+

t=0 seg

i L(t)

Figure 3: Red RL serie.

Planteando la LVK, se tiene diL (t) + iL (t)R = vi (t) = Va u(t) dt Aplicando la Transformada de laplace L LsIL (s) + IL (s)R IL (s) = = Va s Va s (11)

(12) (13)
B s+ R L

1 R

yB=

1 sL + R h 1 Usando fraccionesparciales se tiene IL (s) = Va A + L s
L R:

i

; luego, A =

IL (s) = Va

"

1 sR

1 R

1 s+ R L 0
R Lt

!#

(14)

Aplicando la transformada inversa para t iL (t) = Va 1 R 4 e

u(t)

(15)

4.2

Red RLC con excitación tipo escalón

Sea el circuito de la Fig. 4. Transformando el circuito al plano s, considerando que i(0) = 0, y luego, planteando la LCK
3 [Ω] + 2[V]...