Límites Y Continuidad

Limites y continuidad

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Ejercicio 1 Dada la función f  x   x 2  x , se pide: a) Con ayuda de tu calculadora completa la siguiente tabla de transformados:

x f  x

1

1, 5

1,8

1,9

1,95

1,99

1,999

1,9999

b) Podemos decir que la función f  x  se está acercando a algún valor cuando la variable xse acerca a 2 por su izquierda. En matemáticas esta pregunta nos la plantearemos utilizando los siguientes símbolos: ¿  lím f  x  ?, que se lee: ¿Existe límite de f  x  cuando x tiende a 2 por la izquierda?
x 2

c) Completa esta otra tabla y averigua lím f  x  , en caso de que exista. 
x 2

x f  x

3

2,5

2,3

2,1

2,01

2,001

2,0001

2,00001

d) En losapartados anteriores hemos estudiado la existencia de los llamados límites laterales ¿podemos hablar de lím f  x  , independientemente de que “nos acerquemos por la derecha o la izx2

quierda”?

Ejercicio 2
 2x 1 x  2  Dada la función f  x    5 2 x3 ,  x  5 x  3 

cuya gráfica es la que tienes a la derecha, se pide: a) Halla el domino de f  x  . b) Basándote en la gráfica,¿podemos hablar de lím f  x  ? ¿cuál sería ese
x2

límite?

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Alberto Entero Conde

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c) ¿Puede existir lím f  x  aunque  f  a  ?
x a

d) ¿Se puede decir que es lím f  x   5 ? ¿Es lím f  x   2 ?.
x 3 x 3

Razona la respuesta.

La idea intuitiva de límite es muy sencilla, pero su formalización en términos matemáticas no lo es tanto. En loslibros de matemáticas puedes encontrar la siguiente definición de límite: Dada la función real de variable real de variable real f  x  , diremos que l   es el límites de
f  x  cuando x tiende a a lím f  x   l si   0   0 si 0  x  a    f  x   l   .
x a





Determinación práctica del límite de una función en un punto. Para que exista lím f  x  tienen quecumplirse las siguientes condiciones:
xa

  

Deben existir los límites laterales:  lím f  x  y  lím f  x 
xa xa

Los dos límites laterales deben ser iguales lím f  x   lím f  x   l
x a x a

Si existen los límites laterales y son iguales, hablaremos de límite de la función en el punto x  a  lím f  x   l
xa

   lím f  x   l x a  lím f  x   l
xaLímite infinito y asíntotas verticales. La gráfica de la función f  x   1 x la estudiábamos en el curso pasado, cuya gráfica, en las proximidades de x  0 es la que aparece a la izquierda. La función no está acotada superiormente, pues dado cualquier K  , por grande que sea, la función lo supera, si se da a x un valor lo su suficientemente a 0 por su derecha. Diremos en ese caso 1 que lím  : el límite de 1 x cuando x tiende x 0 x a cero por la derecha es infinito. Tampoco está acotada inferiormente, pues si nos acercamos a cero por su izquierda, la función es menor que cualquier H  , por pequeño que sea:
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Alberto Entero Conde

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x 0

lím

1   : el límite de 1 x cuando x tiende a cero por la izquierda es menos infinito. x

En el caso queestamos estudiando diremos que la recta x  0 es una asíntota vertical de la gráfica de f  x  . En general, si lím f  x    o lím f  x    , la recta x  a es una asíntota vertical
x a x a

de la gráfica de f  x  . Ya conocemos algunas funciones cuya gráfica tienen asíntota vertical:

f  x   ln x

g ( x)  tan x

x 0

lím ln x    x  0 es una asíntota verticalde 
la curva y  ln x

x  2

lím tan x   y

x  2

lím tan x  

La recta x   2 es una asíntota vertical de la curva y  tan x

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Alberto Entero Conde

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Ejercicio 3 Estudia la existencia de lím f  x  , lím f  x  y  
x 2 x 2

A

lím f  x  , siendo la gráfica de f  x  , en cada
x2

caso, las curvas que aparecen a...