Lógica y Conjuntos

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´
Facultad de Ciencias F´sicas y Matematicas
ı

´
´
Introduccion a la Matematica Universitaria.
520145
´
Cap´tulo 1. Logica y Conjuntos.
ı

FCFM. UdeC.

1.

ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica

Conceptos primitivos
Los valores de verdad VERDADERO (V ) y FALSO (F ) son los
´
conceptos primitivos de la logica.

´
Proposicion
´
Unaproposicion es una sentencia declarativa (que afirma o niega
algo de algun sujeto) que posee un unico valor de verdad, pudiendo
´
´
ser verdadera (V) o bien ser falsa (F).
Usualmente se denotan por letras minusculas p, q , r , s, etc.
´
FCFM. UdeC.

2.

ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
´
Conectivos logicos
´
Un conectivo logico es un operador que nos permite obtener
nuevasproposiciones a partir de otras dadas. Los conectivos
´
basicos son:
´
• negacion

(∼)

(“no”)

´
• conjuncion (∧)

(“y”)

´
• disyuncion

(∨)

(“o”)

• condicional

(→)

• bicondicional
FCFM. UdeC.

(“si. . . , entonces”)

(↔)
3.

´
(“si y solo si”)
ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican ensimples y compuestas, vale
´
decir, las que no incluyen conectivos logicos, y las que s´ los
ı
incluyen.
Valores posibles de dos proposiciones dadas

p
V

F

F

V

F
4.

V

V

FCFM. UdeC.

q

F
ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
´
Negacion (∼)
´
´
Dada una proposicion p, se llama negacion de p, y se escribe
´
∼ p, a la proposicion “no p”. Esto significa que∼ p es V si p es
F , y ∼ p es F si p es V .

TABLA DE VERDAD

p
V

5.

F

F
FCFM. UdeC.

∼p
V
ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
´
Conjuncion (∧)
´
Dadas dos proposiciones p y q , la conjuncion de ellas es la
´
ı
proposicion “p y q ”, la cual se escribe p ∧ q . As´, p ∧ q es V si
ambas lo son, y p ∧ q es F si al menos una de ellas lo es.
TABLA DE VERDAD.

pV

V

V

F

F

F

V

F

F
6.

p∧q

V

FCFM. UdeC.

q

F

F
ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
´
Disyuncion (∨)
´
Dadas dos proposiciones p y q , la disyuncion de ellas es la
´
ı
proposicion “p o q ”, la cual se escribe p ∨ q . As´, p ∨ q es V si al
menos una de ellas lo es, y p ∨ q es F si ambas lo son.
TABLA DE VERDAD

p

V

V

V

FV

F

V

V

F
7.

p∨q

V

FCFM. UdeC.

q

F

F
ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
Condicional (→)
Dadas dos proposiciones p y q , la condicional de ellas es la
´
proposicion “si p entonces q ”, la cual se escribe p

→ q . Aqu´, p se
ı
´
llama antecedente y q consecuente. Tambien, p → q se lee “p es
´
´
condicion suficiente para q ”, o bien “q escondicion necesaria para
´
p”. As´, p → q es F solo si p es V y q es F .
ı

FCFM. UdeC.

8.

ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
Logica
Condicional (→)
TABLA DE VERDAD

p

p→q

p

q

p↔q

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

FCFM. UdeC.

q

F

V

F

F

V

9.

ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´Logica
Bicondicional (↔)
Dadas dos proposiciones p y q , la bicondicional de ellas es la
´
´
proposicion “p s´ y solo s´ q ”, la cual se escribe p
ı
ı

´
↔ q . Tambien,
´
p ↔ q se lee “p es condicion necesaria y suficiente para q ”. As´,
ı
´
p ↔ q es V solo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de
verdad.

FCFM. UdeC.

10 .

ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.

´
LogicaDefiniciones varias
´
Una proposicion compuesta se dice una:

• TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V ,
cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones
´
simples que la componen, es decir, si su tabla de verdad solo
contiene valores V .

• CONTRADICCION, si ella es siempre F .
´
• CONTINGENCIA, si no es tautolog´a ni contradiccion.
ı
FCFM. UdeC.

11 ....