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Los números complejos 

Un poco de Historia: La resolución de ecuaciones algebraicas ocupó a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos egipcios y babilónicos, quienes desarrollaron métodospara resolverecuaciones lineales y cuadráticas. Estas ecuaciones, formuladas verbalmente en aquel entonces y no a través de los símbolos que hoy utilizamos, surgieron de las necesidades prácticaspropias de actividades como el comercio y las finanzas por un lado y la agricultura y la medición de terrenos por el otro. El estudio de las ecuaciones lineales del tipo:

donde  y  son númerosnaturales, reveló la necesidad de considerar a los números enteros negativos para poder asegurar la existencia de una solución en cualquier caso. Por ejemplo, la ecuación:

exige, para su solución, que seconsideren los números negativos. Estos números fueron utilizados en India y China varios siglos antes que en Europa.

Análogamente, las ecuaciones del tipo:


donde , y  son números enteros,muchas veces no tienen solución entera, sino racional; por ejemplo:

Solución:



El conjunto de los números naturales se va ampliando así, de manera que, para diferentes tipos de ecuaciones sepueda garantizar la existencia de una solución dentro de los conjuntos 'ampliados':

Si  denota el conjunto de los números naturales,  denota el conjunto de los números enteros y  el conjunto de losnúmeros racionales, se tiene:


donde el símbolo  significa 'esta contenido en'.
Ya desde los tiempos de los pitagóricos se reconoció la existencia de números no racionales; cuando se intentócalcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, con el uso del Teorema de Pitágoras.



se concluyó que , es decir,  . Para la gran sorpresa y angustia de muchos, no se pudo encontrar unnúmero de la forma , con  y  enteros, y  , tal que  fuese solución de la ecuación:


La solución, que hoy denotamos por , es un número irracional, como lo son una infinidad de números que son...