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Funciones trigonométricas inversas

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

De lo que se sigue para determinados

Paraángulos complementarios:

Para ángulos opuestos:

[editar] Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno | ||
Coseno | | | |
Otros | | | |
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

Deducción de la identidad

Sabemos por elteorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):
2):
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
Y sisumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3).(Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

Y por últimomultiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2:Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

Notar el cambio de signo.
[editar] Paso de suma a producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto asuma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto

0.1. Las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas:
Denominamos funciones trigonométricas circulares a aquellas funcionestrigonométricas referenciadas en la circunferencia.
Las funciones trigonométricas construidas con referencia en la hipérbola se denominan funciones hiperbólicas.

Por simplicidad, y puesto que...
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