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El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un problema clásico de las matemáticas. Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico; si el número de ecuaciones es superior, es preferible recurrir al empleo de matrices y determinantes.
Sistemas de ecuaciones lineales
Sellama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdadesalgebraicas en las que aparecen una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer grado, tiene la forma ax + by + cz + ¿ = k, donde a, b, c, ..., son los coeficientes de la ecuación; x, y, z, ..., las incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).
Lossistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan cuadrados. Un caso particularmente interesante desistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con dos incógnitas, que adopta la forma general siguiente:

Tipos de sistemas lineales
En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:
Si el sistema tiene solución, y ésta esúnica, se denomina compatible determinado.
Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.
Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.
Dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. En la noción de equivalencia se basan las principales técnicas algebraicas de resolución de estos sistemas, que persiguen convertirlosen otros cuya resolución sea más sencilla.

Método de igualación
Una primera técnica algebraica común para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es el método de igualación. Este método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye estevalor en las ecuaciones iniciales.
Sea, por ejemplo el sistema:

Despejando x en ambas ecuaciones, se tiene:

Entonces, 
Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones de x, se tiene que x = 2.
Método de sustitución
La técnica algebraica denominada método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en despejar una incógnita en una de lasecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.
Sea el mismo sistema anterior de ecuaciones. Si se despeja , y se sustituye en la segunda ecuación, se tiene que:

-17 y = -17, y = 1. Como ,entonces x = 2.
Método de reducción
La tercera técnica algebraica de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el método de reducción, consta de los siguientes pasos:
Se multiplican o dividen los miembros de las dos ecuaciones por los números que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas.
Se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se eliminauna incógnita.
Se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.
Por ejemplo, en el sistema de ecuaciones:


conviene multiplicar la primera ecuación por 4 y la segunda por 3, y restar ambas ecuaciones:

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Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Método de sustitución
1 Se despeja unaincógnita en una de las ecuaciones.
2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las...