La creación del cálculo

LA CREACION DEL CÁLCULO

1. La motivación del cálculo.

Después de la adopción del concepto de función vino el cálculo, el cual, junto con la geometría euclidiana, es la mayor creación de todas las matemáticas. Fue creado sobre todo para tratar los principales problemas científicos del siglo XVII.
Había cuatro tipos principales de problemas. El primero era el siguiente: dada la fórmula dela distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cualquier instante; y al revés, dada la fórmula que describe la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida.
El segundo tipo de problemas era obtener la tangente a una curva. Era un problema de geometría pura y de gran importancia para lasaplicaciones científicas. Otro problema científico que implicaba la tangente a una cuerva surgía en el estudio del movimiento. La dirección del movimiento de un cuerpo móvil en cualquier punto de su trayectoria es la dirección de la tangente a la trayectoria.
El tercer problema era obtener el valor máximo o mínimo de una función.
El cuarto problema era el de obtener longitudes de curvas; las áreasacotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad de los cuerpos y la atracción gravitatoria que un cuerpo extenso ejerce sobre otro.
2. El trabajo sobre el cálculo de principio del siglo XVII.
Los problemas del cálculo fueron abordados por muchos matemáticos de éste siglo. Todas sus contribuciones fueron coronadas por las realizaciones de Newton y Leibniz. Aquípodremos señalas sólo las contribuciones principales de los precursores de estos maestros.
El método de Fermat, que él había ideado en 1629 y que puede encontrarse en su manuscrito de 1637 Methodas ad Disquirendam Maximam et Minimam (Métodos para obtener máximos y mínimos), es en esencia el método actual. Sea PT la tangente deseada a una curva en P. La longitud TQ se llama sub tangente. El plande Fermat es obtener la longitud de TQ, de la que se obtiene la posición de T y entonces trazar TP.

Para la f(x) tratada por Fermat era inmediatamente posible dividir el numerador y el denominador de la fracción anterior por E. Hace entonces E=0 (según dice, elimina el término E) y así obtiene TQ. El método tiene la forma del método, ahora habitual, del cálculo diferencial, pero está suponiendoenteramente la difícil teoría de los límites.
Para Descartes, encontrar la tangente a una curva era importante porque permitía encontrar propiedades de las curvas. Escribió su método en el segundo libro de La Geometrie. Era puramente algebraico y no incluía ningún concepto de límite, mientras que para Fermat sí lo implicaba, si se formulaba rigurosamente. El método de Descartes sólo era útilpara curvas cuyas ecuaciones fueran de la forma y=f(x), donde f(x) era un polinomio sencillo.
Isaac Barrow (1630-1677) también dio un método para obtener tangentes a las curvas. Barrow era un profesor de matemáticas de la universidad de Cambridge. El método es bastante complicado y hace uso de sus curvas auxiliares. Sin embargo vale la pena destacar una característica porque ilustra la forma depensar de la época; y es el uso de lo que se llama el triángulo diferencial o característico.
El trabajo sobre el tercer tipo de problemas, la obtención de los máximos y mínimos de una función, puede decirse que comienza con una observación de Kepler. El método en palabras de Fermat, es bastante general; él lo describe así: si A es la variable independiente, y si A se incrementa hasta A+E,entonces cuando E se hace indefinidamente pequeño y cuando la función pasa por un máximo o un mínimo, los dos valores de la función han de ser iguales. Estos valores se igualan; la ecuación se divide por E, y E se hace tender a cero, de modo que puede determinarse a partir de la ecuación el valor de A que hace máxima o mínima a la función. El hecho básico allí es la semejanza de dos triángulos, aquí...