La Derivada

Índice

Introducción 2
Función 3
Algebra de funciones 4
Composición de funciones 4
Límite de funciones 5
Teorema sobre límites 5
Forma indeterminada 7
Continuidad y discontinuidad de una función 9
Concepto de derivada 10
Reglas para la obtención de la derivada de una función 11
Derivada de orden superior14
Derivada implícita 17
Método de cadena 17
Funciones crecientes y decrecientes 19
Concavidad de una función 21
Puntos de inflexión de una función 22
Máximos y mínimos relativos 24
Aplicaciones de la derivada a la geometría 27
Derivada de funciones trigonométricas 28
Derivada de funciones trigonométricas inversas 29
Aplicaciones dela derivada a problemas de casos cotidianos


Introducción

En el presente trabajo se aborda el tema de funciones, dominio de funciones y rangos, algebra de funciones, composición de las mismas, limites de una función cuando está o no definida, continuidad y discontinuidad en una función.

Concepto de la derivada, reglas, derivadas de orden superior, derivación implícita, funcionescrecientes y decrecientes, concavidad, puntos de inflexión, máximos y mínimos de una función.

Aplicaciones de la derivada a la geometría y demás campos en donde se pudiera utilizar el concepto de esta.

Función

En matemáticas, una función f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio lecorresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:


Donimio.- son todos los valores que toma la variable X (independiente) que hace posible que la función esté definida.
Rango.- son todos los valores que toma la variable Y. También llamado, codominio, conjunto de llegada o conjunto final.

Ejemplo.- encontrar el dominio de la siguiente función.


Dominio =

Algebrade funciones

Si “f ” y “g” son funciones que dependen de “ x ”
(f + g) (x) = f (x) + g (x)
(f - g) (x) = f (x) - g (x)
(f • g) (x) = f (x) • g (x)
(f / g) (x) = f (x) / g (x)

Composición de funciones

(f • g) (x) = f [g (x)]
(g • f) (x) = g [f (x)]

Ejemplo.- si f (x) = y g (x) =
(f • g) (x) = f [g (x)] (g • f) (x) = g [f (x)]
==
= g =
f =

Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.Teorema sobre límites

Si f y g son funciones tales que:
f (X) = A y g (X) = B

(f + g) = f (x) + g (x) = A + B
(f ـ g) = f (x) ـ g (x) = A - B
(f • g) = f (x) • g (x) = A • B
(f / g) = f (x) ـ g (x) = A / B

Ejemplo.- si f (x) = y g (x) =
(f + g) = +
= +=
(f + g) =

Ejemplo.- si f (x) = y g (x) =
(f - g) = -
= -
=
(f - g) =

Forma indeterminada

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:


Nota: se refiere al límite que tiende infinito y al límite cuando tiende 0 (no al número 0).Ejemplo.- obtener el límite de las siguientes funciones:
a) Si se aplica el límite directo se obtiene lo cual no esta definido el límite. Se debe factorizar el numerador para obtener le límite.



=

b) Si se aplica el límite directo se obtiene lo cual no esta definido el límite. Se debe...