La derivada

LA DERIVADA
DEFINICIÓN
La definición más común hace referencia a que la derivada es el límite del cociente entre el incremento de una función y el de la variable cuando este último tiende a cero.
Definición geométrica de la derivada 
La definición geométrica de la derivada está relacionada directamente con la pendiente de una recta tangente a una curva que generalmente es de la forma . Paradeducir de una forma gráfica el concepto de derivada calculemos la pendiente de la recta tangente a la curva,  en el punto Q (2, 4) como se puede observar en la gráfica:

 
Ahora se calculan pendientes de rectas que se aproximen a la recta tangente en el punto Q (2, 4), para esto se toman puntos P, en la curva , que estén cerca del punto Q, y se calcula la pendiente de la recta que pasa por lospuntos Q y P, que se muestra en el siguiente cuadro:

De acuerdo a los datos obtenidos se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva y = x2, en el punto Q(2, 4) posiblemente está entre 4.99 y 4.01.
Para hallar, el valor exacto de la pendiente se toma el punto P con abscisa muy cerca de 2:

, generalmente representa una cantidad muy pequeña y puede ser positiva o negativa, deesta forma, 2 +  estará muy próxima a 2. Al calcular la pendiente de la recta que pasa por Q y P: 

Cuando  se aproxime a cero o dicho de otra forma, cuando el punto P se aproxime al punto Q, entonces la pendiente de la recta que pasa por Q y P, que es igual a que 4 + se aproxime a 4.
Resumiendo, se tiene que la recta tangente a la curva y = x2 en el punto Q(2, 4) es igual a:

El procedimientoanterior se puede resumir en el siguiente enunciado:
Si y = f(x), es una curva y Q[a,f(a)] es un punto sobre esta curva, entonces la pendiente de la recta tangente a la curva   y = f(x)   en el punto [ a, f(a) ] es igual a:

Y se llama derivada de f en x = a.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función se puede representar también como 
y se lee derivada de y con respecto a x.
 

  

 

 
Otras derivadas de gran importancia son:






 

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS
Derivada de una suma
Si se tiene dos funciones f y g derivables las dos en x, la función suma es derivable también en x, y se verifica la suma como:
 

 
Derivada de un producto
Si f y g son dos funciones derivables en x, entonces la función producto es derivable también en x, y severifica el producto como:

De la misma manera se tiene que si , donde m pertenece a los enteros positivos, entonces se verifica la derivada de una potencia:

 




 

 
Derivada de un múltiplo constante
Si f es una función que se puede derivar y c un número que pertenece al conjunto de los números reales, se comprueba que:

 
Derivada de un cociente
La derivada de un cociente seexpresa como: 

Donde f es una función y c un número perteneciente al dominio de la función de tal manera que:

Cuando se trata de dos funciones f y g también derivable en x = c, con g(c) diferente de 0, entonces se tiene que la función cociente   f / g es derivable en    x = c, y la ecuación se comprueba para derivar un cociente de funciones en:
 

 
No necesariamente todos los cocientesplanteados se resuelven a través de la fórmula general. También se pueden desarrollar como productos de una constante por una función de x, y se aplicaría la regla vista anteriormente para la derivada de un múltiplo constante que para el caso sería más práctica.
 





 

 
Derivada de las principales funciones trigonométricas
 
Las derivadas de las funciones trigonométricas vienen dadaspor:
 

Para demostrar cada una de las derivadas anteriores, se parte de la regla general de la derivada:


 
Las demás derivadas trigonométricas las aplicaremos en la medida en que desarrollemos varios ejemplos.

 









Teniendo como base los anteriores ejemplos, demostrar las derivadas trigonométricas para la Ctg, Sec y Csc respectivamente.
 

Resumiendo todas las...