la derivada

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Capítulo 4
Aplicaciones de
la derivada

Contenido breve
Módulo 20
Interpretaciones geométrica y física
de la derivada
En una carrera de autos, el auto A y el auto B inician en el mismo punto y terminan empatados. El teorema del valor medio permite
demostrar que sus velocidades fueron iguales en algún instante de la carrera.

Módulo 21
Valores extremos de una función de
variablereal
Módulo 22
Teorema del valor medio (TVM)
para derivadas

Presentación
En el capítulo anterior se presentaron todas las herramientas básicas como medio
para resolver una serie de problemas en los que interviene la derivada, que son de
gran importancia práctica y que de otra forma no podrían ser resueltos.
En este capítulo se exponen las aplicaciones más elementales e interesantes dela
derivación a problemas del análisis matemático (estudio de la variación de las funciones, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y, en general, el trazado
completo de curvas), de la geometría (rectas tangentes y normales), de la física
(movimiento variado) y en problemas de la vida diaria en los cuales se precisa
minimizar costos, obtener beneficios máximos, etc., y para ellosla teoría de la derivación proporciona información suficiente.

Módulo 23
Criterio de la primera derivada
Módulo 24
Criterio de la segunda derivada
Módulo 25
Análisis y trazado de curvas
Módulo 26
Problemas de máximos y mínimos
Módulo 27
La derivada como razón de cambio
Módulo 28
La diferencial
Ejercicios
Capítulo 4, módulos 20 al 28

20
Interpretaciones geométrica y física dela
derivada
Introducción
El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se
remonta a la época del gran matemático griego Arquímedes (287-212 a.C.). El problema de la velocidad instantánea es más reciente. Creció con los intentos de Keppler
(1571-1630), Galileo (1564-1642), Newton (1642-1727) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dosproblemas, el uno geométrico y el
otro físico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo, conducen al
mismo límite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.

Objetivos del módulo
1. Interpretar la derivada de una función en un punto como la pendiente de la recta
tangente a la curva que representa la función en dicho punto.
2. Interpretar físicamente laderivada s´(t) como la velocidad de una partícula que
se mueve sobre una línea recta mediante la función s(t), que permite calcular
para cada t el espacio recorrido s.
3. Interpretar s´´(t) como la aceleración de la partícula.

Preguntas básicas
1. Determine las ecuaciones de la recta tangente LT y de la recta normal (recta
perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación y = f ( x ) = x 2− 8, en el
punto P (3, 1).
2. Si un objeto es arrojado verticalmente hacia arriba (o hacia abajo) desde una altura S0 (pies), con una velocidad inicial v0 (pies/s), y si s es la altura sobre el piso
después de t segundos, puede demostrarse que la posición S como función del
tiempo viene dada por S = f (t ) = −16t 2 + v0 ⋅ t + S0 .
3. Supóngase que se arroja un objeto hacia arriba desde la partesuperior de un edificio de 160 pies de altura con una velocidad inicial de 64 pies/s.
a. ¿Cuándo el objeto alcanza la altura máxima?
b. ¿Cuál es la altura máxima?
c. ¿Cuándo llega al piso?
d. ¿Con qué velocidad llega al piso?
e. ¿Cuál es su aceleración en el instante t = 2 s?

Contenidos del módulo
20.1 Interpretación geométrica de la derivada
20.2 Interpretación física de la derivadaSi un clavadista se lanza desde una plataforma situada a S0
pies de altura con una velocidad v0 (hacia arriba), ¿cuándo
llegará al agua y con qué velocidad? El modelo clásico
presentado al final del módulo da la respuesta.

196 U de @ - Educación no presencial

Módulo 20: Interpretaciones geométrica y física de la derivada

20.1 Interpretación geométrica de la derivada
Uno de los...