La geometría euclidiana

La Geometría Euclidiana es un término acuñado en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado "Elementos de Geometría", se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas Geometrías no Euclidianas en el siglo XIX.
La Geometría Euclidiana puede dividirse en Geometría Plana y en Geometría del Espacio oEstereometría. La Plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del Espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.
La geometría euclidiana [1] es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometríaeuclidiana es sinónimo de geometría plana.
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro "Los elementos", dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente -desde Arquímedes hasta Steiner.

Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería,precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado producto escalar habitual).

Según el Programa de Erlangen, la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de unproducto escalar). [2]
La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
1. Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
2. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
3. Todos los ángulos rectos son iguales.
4. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectasprolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides,han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un puntoexterior a una dada).

Limitaciones

Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requerían demostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatropostulados. Las geometrías donde el quinto postulado no es válido se llaman geometrías no-euclidianas.

Una limitación del trabajo de Euclides fue no reconocer la posibilidad de sistemas geométricos perfectamente consistentes donde el quinto axioma no era válido, es decir, para Euclides y los geómetras posteriores hasta el siglo XVIII pasó inadvertida la posibilidad de geometrías no-euclidianas,...