La geometria

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan ala solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Así mismo, da fundamento teórico ainventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en lapreparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición.Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.

El primer sistema axiomático fue el de Euclides,pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.

Como en todo sistema formal, debe tenerse encuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando se axiomatiza algo, se convierte ese comportamiento en el objeto de estudio,pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos).

Esto significa que en adelante, las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado visual. Si seconserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia.Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo...