La Insoportable Levedad Del Conjunto Q
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Publicado: 9 de junio de 2015
La insoportable levedad del conjunto Q
13 DE NOVIEMBRE DE 2003 - 22:21 - CONCEPTOS
Para Reyes, mi
paseo más hermoso
No estará de más recordar una vez más que esto es un paseo, y que no vamos adescubrir en este blog nada nuevo. Tratamos únicamente de visitar parajes hermosos, y de hacer un viaje compartido por el mundo de las ideas matemáticas. Digo esto porque muchos aspectos matemáticos, nopor ser perfectamente establecidos y aclarados dejar nunca de tener su encanto.
El conjunto Q es el de los números racionales, o sea: los que se obtienen dividiendo dos enteros, positivos onegativos. Por ejemplo: 0,25 es racional por ser el cociente de 1 y de 4.
Aquellos números que no se pueden expresar mediante este sistema, son llamados en un alarde de imaginación irracionales . Tanto unoscomo otros son números reales, y estos últimos pueden ponerse en relación uno a uno con los puntos de una recta.
Uno de los primeros hechos interesantes es que todo irracional (pi, por ejemplo) puedeser aproximado mediante una división de enteros, tanto como se quiera; aunque nunca se obtenga dicho número exactamente. Por ejemplo 22/7 es una muy buena aproximación a pi, pues nos da su valor conun error relativo de tan sólo 0.04%. A base de numeradores y denominadores más grandes ( y menos elegantes), conseguiríamos precisiones cada vez mayores. Estamos descubriendo una característicaimportante del conjunto Q: es denso dentro de R.
La noción de conjunto denso es topológica, y necesita de conceptos previos (adherencia de un conjunto), pero existe una caracterización que nos viene muybien. Un subconjunto D de un conjunto C es denso si y solo si todo abierto de C contiene algún elemento de D . En la recta real R los abiertos son los intervalos (a,b), que comprende todos los númerosreales mayores que a y menores que b, así como uniones de intervalos de este tipo, e intersecciones finitas de ellos.
Tomemos el punto origen (cero) de la recta. Imaginamos un entorno abierto...
13 DE NOVIEMBRE DE 2003 - 22:21 - CONCEPTOS
Para Reyes, mi
paseo más hermoso
No estará de más recordar una vez más que esto es un paseo, y que no vamos adescubrir en este blog nada nuevo. Tratamos únicamente de visitar parajes hermosos, y de hacer un viaje compartido por el mundo de las ideas matemáticas. Digo esto porque muchos aspectos matemáticos, nopor ser perfectamente establecidos y aclarados dejar nunca de tener su encanto.
El conjunto Q es el de los números racionales, o sea: los que se obtienen dividiendo dos enteros, positivos onegativos. Por ejemplo: 0,25 es racional por ser el cociente de 1 y de 4.
Aquellos números que no se pueden expresar mediante este sistema, son llamados en un alarde de imaginación irracionales . Tanto unoscomo otros son números reales, y estos últimos pueden ponerse en relación uno a uno con los puntos de una recta.
Uno de los primeros hechos interesantes es que todo irracional (pi, por ejemplo) puedeser aproximado mediante una división de enteros, tanto como se quiera; aunque nunca se obtenga dicho número exactamente. Por ejemplo 22/7 es una muy buena aproximación a pi, pues nos da su valor conun error relativo de tan sólo 0.04%. A base de numeradores y denominadores más grandes ( y menos elegantes), conseguiríamos precisiones cada vez mayores. Estamos descubriendo una característicaimportante del conjunto Q: es denso dentro de R.
La noción de conjunto denso es topológica, y necesita de conceptos previos (adherencia de un conjunto), pero existe una caracterización que nos viene muybien. Un subconjunto D de un conjunto C es denso si y solo si todo abierto de C contiene algún elemento de D . En la recta real R los abiertos son los intervalos (a,b), que comprende todos los númerosreales mayores que a y menores que b, así como uniones de intervalos de este tipo, e intersecciones finitas de ellos.
Tomemos el punto origen (cero) de la recta. Imaginamos un entorno abierto...
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