Ley De Los GranDes Números y Tipos De Convergencia

La Ley de los Grandes Números y Tipos de Convergencia

Ley de los Grandes Números

Si X1, X2, X3, X4, ... , Xn, son observaciones de realizaciones repetidas de una variable aleatoria X, y n es unnúmero grande, entonces la frecuencia relativa, conocida como el conteo # veces que X cae en x, misma que se denota fo (frecuencia “observada”) entre n es aproximadamente igual a f(x) parax=0,1,2,3,4,5, ...(aquí, ``grande'' en términos prácticos es del orden de 25-30 para muchas situaciones). A la frecuencia relativa se le denota por . Notemos que para que se cumpla la Ley de los GrandesNúmeros, no importa que conozcamos o no quien es f(x).

Notemos también que la frecuencia relativa es una cantidad aleatoria que tiene las siguientes propiedades:

Tipos de Convergencia

Convergenciacasi segura. Una sucesión de variables aleatorias, {Xn}, converge con probabilidad 1, o de forma casi segura, a una variable aleatoria X (que puede degenerar en una constante k) cuando se cumple que:De esta forma interpretaremos que cuando la probabilidad de que en el límite la sucesión de variables aleatorias y aquella a la que converge sean iguales es uno.

Convergencia enprobabilidad. Una sucesión de variables aleatorias, {Xn}, converge en probabilidad, a una variable aleatoria X (que puede degenerar en una constante k) cuando se cumple que:

O bien, considerando sucomplementario,

De esta forma interpretaremos que cuando en el límite, la probabilidad de que sucesión de variables aleatorias y aquella a la que converge difieran (en valor absoluto) en un valor mayor (pequeño) es cero (o complementariamente). Ha de tenerse en cuenta en este caso que la sucesión sólo implica a la sucesión de las probabilidades de los sucesos y no a las variables en sentidomatemático.

Convergencia en media cuadrática. Una sucesión de variables aleatorias, {Xn}, converge en media cuadrática, a una variable aleatoria X (que puede degenerar en una constante k) cuando se...