La parábola

Índice

Introducción y conceptos básicos.

1. Ecuación Canónica de la parábola en el punto (0,0)
2. Ecuación ordinaria de la parábola en el vértice (h, k)

Conclusión

Bibliografía

Introducción
La parabola es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz de la parabola. La distancia de los focos al punto esigual a la distancia de los puntos a la directriz.
Conceptos básicos
Foco: El foco de la parábola es un punto. Respecto del foco, cada punto de la parábola posee la misma distancia que hasta una recta llamada directriz.

Directriz: En matemáticas, se aplica a la línea, figura o superficie que determina las condiciones de generación de otra línea, figura o superficie: la directriz de unaparábola es la recta fija que, junto con el foco, sirve para determinarla.

Eje de simetría: Línea que atraviesa una figura de tal manera que cada lado es el espejo del otro. 

Vértice: Donde la parábola hace el giro más fuerte) está a medio camino entre el foco y la directriz.

La parábola puede ocupar distintas posiciones en el plano, por ello se tiene que considerar los siguientes elementospara determinar su ubicación
El foco = f (h,k + p)
El vertice = V (h,k)
La directriz: y= k – p
Un punto en la parabola = P (x,y)


1. Ecuación Canoníca de la parábola en el punto (0,0)
1.1 Cuando la parábola se encuentra en el eje x:
En un plano cartesiano consideremos que el foco este situado en el eje x y su vértice se encuentra en el punto (0,0) (eso significa que intersecta elorigen de las coordenadas). Y la parábola se encuentra en el semiplano derecho del sistema. El origen de las coordenadas lo supondremos situado a igual distancia del foco y de la directriz. El foco esta dado por el punto (p,0) , la directriz esta en el punto (-p,0) y la ecuación de la directriz está dada por :
x= -p . La parábola está determinada por la ecuación:

Esta ecuación es la ecuacióncanoníca de la parábola de la elipse
Si P > 0 La parábola se abre hacia la DERECHA

En el mismo plano cartesiano consideremos que el foco de la parábola nuevamente es interceptado por el eje x y el origen de las coordenadas está situado a la misma distancia del foco y la directriz, pero esta vez está situado en el semiplano izquierdo del plano cartesiano. La ecuación no cambiara. Solo cambiaque:
y2 = -4px

Si P < 0 La parábola se abrirá hacia la IZQUIERDA.

1.2 Cuando la parábola se encuentra en el eje Y
X^2 = 4py

Considere que en el plano cartesiano el foco de la parábola está situado en el y, y sus coordenadas son (0,p), y el vértice ubicado en el (0,0) Entonces la ecuación de la parábola quedara determinada por:
Si P > 0 La parábolase abre hacia ARRIBA.




X^2 = - 4py


Nuevamente considere que en el plano cartesiano el foco de la parábola está situada en el eje Y, y el vértice coincide con el punto (0,0). La ecuación no cambia, pero si el signo de p, por lo tanto.
Si P < 0, la parábola se abre hacia ABAJO.

2. Ecuación ordinaria de la parábola en el vértice (h, k)
Una parábolacon vértice (H,K) eso significa que no toca el punto centro sino cualquier otro punto en el plano cartesiano siempre y cuando este punto sea paralelo a uno de los ejes de coordenadas y con distancias iguales entre el foco y el centro.
Vértice con coordenadas v(h,k), eje y =k , directriz = h-p, Foco F(h+p,k)

Eje de la parábola paralelo al eje x será dado por la siguiente ecuación:

Si en laecuación 4p es positivo entonces se abre hacia la DERECHA:

Si en la ecuación 4p es negativo entonces la parábola se abre hacia la IZQUIERDA

La ecuación queda:

Ejercicios.
EJERCICIO 1 :

Una parábola tiene como ecuación y2 = -8x. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y gráfica de la parábola. Si tenemos en cuenta la ecuación canónica, entonces esta es y2 =...