La vaca

Los N¶umeros Reales
Karen Garc¶³a Mesa
tartaglia@lab.matcom.uh.cu
Universidad de la Habana
Yanelys Zald¶³var
Universidad de la Habana
Celia G¶alvez
maria5@lab.matcom.uh.cu
Universidad de la Habana
Avalado por: Dr. Rita Rold¶an
rroldan@matcom.uh.cu
Universidad de la Habana
Resumen
Se estudian varios m¶etodos para construir los n¶umeros reales manteniendo los ax-
iomas que de¯nen alos racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los
siguientes:
Propiedad de continuidad
Principio de intervalos cerrados encajados
Axioma del supremo
Cortaduras de Dedekind
Adem¶as se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones.
Palabras y frases Claves: n¶umeros reales, cortaduras, conjunto
Clasi¯caci¶on: An¶alisis Matem¶atico
INTRODUCCI¶ON
Nuestrointer¶es por realizar este trabajo se debe a que pens¶abamos que conoc¶³amos
los n¶umeros reales, pero de¯nitivamente est¶abamos equivocados, pues no nos imag-
in¶abamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos
abrieron numerosas puertas al conocimiento matem¶atico, entre ellas est¶a el conocer
que R surge a partir de los huecos de Q y que existen diferentes manera dede¯nirlo.
Se atribuye a los pitag¶oricos la expresi¶on "Todo es n¶umero". La Escuela Pitag¶orica
fue la primera escuela matem¶atica griega. Antes de ellos se hab¶³a acumulado una
buena cantidad de conocimiento matem¶atico debido a culturas tales como la egipcia
y la babil¶onica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos por medio de
los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propioPit¶agoras. Este contacto signi¯ca
para la matem¶atica de la ¶epoca un enorme salto conceptual pues, de una matem¶atica
dedicada en lo esencial a la soluci¶on de problemas de tipo pr¶actico, se pasa a una
matem¶atica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es de-
cir una matem¶atica te¶orica. A partir de Tales y Pit¶agoras, la matem¶atica griega
evoluciona por caminosde alta complejidad que, parad¶ojicamente, se estructuran
alrededor de una disciplina com¶un: la geometr¶³a. Es as¶³ como en el siglo IIIa:C:,
m¶as de doscientos a~nos despu¶es de Tales y Pit¶agoras, aparece un texto de importan-
cia capital para la historia de la matem¶atica: los "Elementos"de Euclides, esfuerzo
totalitario de recolecci¶on del saber matem¶atico acumulado hasta la ¶epoca;dotado
de un enorme sentido pedag¶ogico que llev¶o desde su creaci¶on a separarlo en trece
vol¶umenes.
>C¶omo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina
conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag¶orica original "To-
do es n¶umero", idea que para los propios pitag¶oricos ten¶³a un sentido tan profundo
que adquir¶³a caracter¶³sticas sagradas. Eneste sentido, Pit¶agoras viene a ser el pre-
decesor original de Leopold Kronecker, el matem¶atico que a¯rm¶o que "Dios cre¶o los
n¶umeros enteros, lo dem¶as lo hizo el Hombre", porque cuando un pitag¶orico hablaba
de n¶umero lo que ten¶³a en mente espec¶³¯camente era un n¶umero racional.
Esto lo podemos ver claramente en "Los Elementos "de Euclides Def:V II;1 y
Def:V II;2. La primera dice queuna unidad es aquello en virtud de lo cual ca-
da una de las cosas que hay es llamada una y la segunda a¯rma que un n¶umero es
una pluralidad compuesta de unidades. De¯niciones lo su¯cientemente restrictivas
para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n¶umero: una unidad no
es un n¶umero, es el ente que constituye a los n¶umeros.
La visi¶on pitag¶orica del n¶umero como lasustancia constitutiva del Universo, con-
dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que
nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia
de una medida com¶un para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi¶en se asigna
a los pitag¶oricos el descubrimiento del teorema que lleva su nombre el cual, entre
otras muchas cosas,...