lala

ÁLGEBRA LINEAL
Sistemas de Ecuaciones Lineales

Autor: David Gómez Vilaxa

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nuestro objetivo es analizar sistemas de ecuaciones grandes. Una
ecuación lineal en n variables tiene la forma

a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn  b
donde a1 , a2 , a3 ,, an y b

son números reales

Observación:
Los sistemas de ecuaciones en el plano puedenpresentar tres
posibilidades. Puede haber una solución única, ninguna solución
o muchas soluciones.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Solución Única:

y

x  3y  9
 2 x  y  4
(3,2)

x

Las líneas se interceptan en el punto (3,2). Solución única x=3,
y=2

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ninguna Solución:

y

 2x  y  3
 4x  2 y  2x

Las líneas son paralelas. No hay puntos de intersección. No hay
solución.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Muchas Soluciones:

y

4x  2 y  6
6x  3y  9

x

Ambas ecuaciones tienen la misma gráfica. Todo punto de la
gráfica es una solución. Muchas soluciones.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
El siguiente es un ejemplo de un sistemade tres ecuaciones
lineales.

x1  x2  x3  2
2 x1  3x2  x3  3
x1  x2  2 x3  6
Observación:
Una ecuación lineal con tres variables corresponde a un plano en
el espacio tridimensional. Las soluciones al sistema serán puntos
que se encuentren en los tres planos. Para estos sistemas como
para los sistemas de dos ecuaciones, puede haber una solución
única, muchas soluciones o ningunasolución.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Solución Única:

C

A
P
B
Los tres planos A, B y C se interceptan en un solo punto P. P
corresponde a una solución única.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ninguna Solución:

A
P
B
C
Los planos A, B y C no tienen puntos en común. No hay solución.

DGV

Matrices y Sistemas de EcuacionesLineales
Muchas Soluciones:

B

Q
A
P

C

Los tres planos A, B y C se interceptan en la línea PQ. Cualquier
punto de la línea es una solución.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Observación:
Conforme el número de variables aumenta, la interpretación
geométrica de tales sistemas se hace más complicada. Cada
ecuación representará un espacio dentro de un espacio másgrande. El método geométrico para visualizar las soluciones
resulta poco práctico. Debemos apoyarnos únicamente en
los métodos algebraicos.

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Observación:
Para describir sistemas de ecuaciones lineales usaremos arreglos
de números llamados matrices.

Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números. A los números
en el arreglo seles llama elementos de la matriz.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas.

Ejemplos:

 2 3  4
A
7 5  1



6
 7 1
3 5
B   0 5 C  0  2 5 




 8 3
8 9 12





DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Renglones (filas) y Columnas:
Las matrices constan de renglones (filas) y de columnas. Los
renglones (filas) se numeran dearriba hacia abajo, y las
columnas de izquierda a derecha.

Ejemplo: la matriz siguiente tiene dos filas y tres columnas
 2 3  4
A
 Fila 1 : 2 3  4 Fila 2 : 7
7 5  1 
 2
3
Columna 1 :   Columna 2 :   Columna 3 :
7 
5

5  1
  4
  1
 

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Submatriz:
Una submatriz de una matriz dada es un arregloque se obtiene
eliminando algunos renglones (filas) y columnas de la matriz.

Por ejemplo:

1 7 4 
2 3 0 
A

5 1  2


matriz A

1 7 
7 
2 3 Q  3 R  1 4 
P
5  2

 


5 1 
1 


 
submatrices de A

DGV

Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
Tamaño y Tipo:
El tamaño de una matriz se define especificando el número de...