Las cónicas

Introducción
En este trabajo trataremos acerca de la Geometría Analítica y las contribuciones más sobresalientes que en ella se han efectuado, la misma es aquella parte de la matemática que aplicando el método de las coordenadas, estudia los objetos geométricos por medios algebraicos.
De igual forma se desarrollará los términos: Secciones Cónicas, que son las curvas generadas por laintersección de un cono de doble hoja y de un plano.

También conoceremos más a fondo los diferentes tipos de Secciones Cónicas los cuales son: Eclipse, Parábola e Hipérbola.
Las curvas cónicas, fueron estudiadas por matemáticos de la escuela Griega hace mucho tiempo. Se dice que Menaechmus fue el que descubrió las secciones cónicas y que fue el primero en enseñar que las parábolas, hipérbolas y elipseseran obtenidas al cortar un cono en un plano no paralelo a su base.
Menaechmus realizó sus descubrimientos de las secciones cónicas cuando él trataba de resolver un problema de duplicar un cubo.
Apollonius de Perga fue otro matemático que estudio las cónicas. Poco se sabe de su vida pero su trabajo tuvo una gran influencia en el estudio de las matemáticas. Apollonius escribió libros queintrodujeron términos que hasta hoy son conocidos como parábola, hipérbola y elipse.
En geometría, una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo del ángulo del plano relativo al cono, la intersección puede ser: un círculo, una elipse, una hipérbola o una parábola.

1.- Las Cónica
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar unasuperficie cónica por un plano.
El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.
Arquímides logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s.XVII d. C.
Apolonio de Praga representa la culminación de la geometría griega. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo, y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.
1.1.- Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante . Estos dospuntos fijos se llaman focos de la hipérbola .

Ecuación analítica de la hipérbola
Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :

PF - PF' = 2ª
Elevando al cuadrado y uniendo términossemejantes obtenemos que :
(c²-a²)·x² - a²y² - (c²-a²)·a² = 0
A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b²x² - a²y² = a²b²

Dividiendo entre a² b² obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b²x²- a²y²- 2xpb² +2yqa² + p²b² - q²a² - a²b² = 0
Si hacemos A = b² , B = -a² , D = -2pb² , E = 2qa² , F = p²b² - q²a² - a²b² tendremos la ecuación :
Ax²- By² + Dx + Ey + F = 0
Donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los términos A y B
1.2.- La Parábola
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fijallamada directriz .

Ecuación analítica de la parábola
Supongamos que el foco esté situado en el punto (0,c) y la directriz es la recta y = -c (por lo tanto el vértice está en su punto medio (0,0) ) , si tomamos un punto cualquiera P(x , y) de la parábola y un punto Q(x , -c) de la recta debe de cumplirse que :
PF = PQ

Elevando al cuadrado:
x² = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en...