Las teorias

Formas diferenciadas discretas para el modelo de cómputo
Mathieu Desbrun Eva Kanso_ Yiying Tong
Laboratorio aplicado de la geometría
1 motivación: La aparición de computadoras como herramienta esencial en la investigación científica ha quebrantado las mismas bases del modelado diferenciado. De hecho, la abstracción profundo-arraigada de la suavidad, o el diferencial, parece intrínsecamentecoincidir con la capacidad de una computadora de almacenar solamente sistemas de números finitos. Mientras que ha habido series de técnicas de cómputo que propusieron discreciones del diferencial las ecuaciones, las estructuras geométricas que están simulando están a menudo perdido en el proceso.
1.1 El rol de la geometría en la ciencia La geometría es el estudio del espacio y de las características deformas adentro espacio. Datando de Euclid, los modelos de nuestros alrededores tienen formulado usando las descripciones simples, geométricas, formalizando simetrías evidentes e invariantes experimentales. Por lo tanto, la geometría está en la fundación de muchas teorías físicas actuales: relatividad general, electromagnetismo (E M), teoría del calibrador así como los mecánicos sólidos y fluidostodos tiene estructuras geométricas que son la base fuertes. La teoría de Einstein por ejemplo indica que la fuerza de campo gravitacional es directamente proporcional a la curvatura del espacio-tiempo. Es decir la física de la relatividad es modelada directamente por la forma de nuestro mundo dimensional 4, apenas pues el comportamiento de las burbujas de jabón es modelado por sus formas. Lageometría diferenciada es así, de facto, la lengua materna de físico y matemático numerosos teorías. Desafortunadamente, la naturaleza geométrica inherente de tales teorías es obstruida a menudo por su formulación en notaciones vectoriales o tensoriales: el uso tradicional de un sistema coordinado, en el cual la definición las ecuaciones se expresan, obscurecen a menudo las estructuras subyacentes porun uso de forma aplastante de índices. Por otra parte, tal complejo las expresiones enredan el contenido topológico y geométrico del modelo.
1.2 cálculo exterior Geometría-basado. La naturaleza geométrica de estos modelos es mejor expresado y aclarado con el uso del cálculo exterior del diferencial Formas, primero introducidas por Cartan [Cartan 1945]. Este cálculo geometría-basado fuedesarrollado y refinado más a fondo sobre el vigésimo siglo a hacer la fundación de la geometría diferenciada moderna. El cálculo de formas exteriores permite que una exprese diferencial y ecuaciones integrales en espacios lisos y curvados en un constante manera, mientras que revela los invariantes geométricos en el juego. Para ejemplo, las operaciones clásicas del gradiente, divergencia, y enrollamientotan bien como los teoremas del verde, el gauss y alimenta se puede todos expresar sucinto en términos de formas diferenciadas y operador encendido estas formas llamaron la derivado-alusión exterior a la generalidad de este acercamiento. Comparado al cálculo tensorial clásico, este cálculo exterior tiene varias ventajas. Primero, es a menudo difícil reconocer naturaleza de lacoordinación-independiente de las cantidades escritas en la notación tensorial: los invariantes locales y globales son duros de notar apenas mirando fijamente Ahora en la Universidad de California del Sur. Por una parte, los invariantes se descubren fácilmente cuando son expresados como formas diferenciadas invocando cualquiera alimentaron teorema, el lema de Poincar´e, o aplicando la diferenciación exterior. Observetambién que el derivado exterior de formas diferenciadas la parte anti simétrica de derivado es una de la mayoría de las partes importantes de diferenciación, puesto que es invariante bajo cambio de sistema coordinado. De hecho, estados de Sharpe en [Sharpe 1997] de los cuales cada ecuación diferencial se puede expresar en el término del derivado exterior formas diferenciadas. Por consiguiente,...