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Estimación de la media poblacional mediante intervalos de confianza.

El objetivo de este apartado es conseguir una estimación de la media [pic] (desconocida) de una población, cuya desviacióntípica [pic] es conocida.
Para ello se recurre a una muestra de tamaño n, para la que se obtiene su media, [pic].

Nota: Sabemos que las medias muestrales se distribuyen según una normal (siempre que lapoblación de partida lo sea, ó aún no siéndolo, siempre que n(30).

Definición: Decimos que el intervalo centrado en [pic], [[pic]-L, [pic]+L] es un intervalo de confianza de [pic] con un nivel deconfianza del 95%, (p.e.), si [pic].

Nota: Podemos hablar de un 95% de nivel de confianza, ó alternativamente, de un 5% (100-95) de nivel de significación.

Ejemplo 1: Deseamos valorar el gradode conocimientos en Historia de una población de varios miles de alumnos. Sabemos, por estudios anteriores, que la desviación típica poblacional es [pic]=2,3. Nos proponemos estimar [pic] pasando unaprueba a 100 alumnos. La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser [pic]=6,32.
Halla el intervalo de confianza de [pic] con un nivel de confianza del 95%.

Solución:
Puesto que n=100,sabemos que [pic].
[pic]Esto quiere decir, que aunque no sabemos el valor de [pic], “podemos asegurar que estará entre 5,87 y 6,77 con una probabilidad del 95%”.

Al radio del intervalo deconfianza, L, se le llama error máximo admisible; en el ejemplo anterior es L=0,45.

[pic]
Notas:
Para un tamaño muestral fijado, podemos rebajar el error máximo admisible a costa de rebajar el nivel deconfianza.
Si lo que queremos es mantener fijo el nivel de confianza y rebajar el error, tendremos que aumentar el tamaño de la muestra.

Ejemplo 2: En el ejemplo anterior, y manteniendo el nivel deconfianza en el 95%, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra para que el error máximo admisible sea L=0,20?

Solución:
Si el intervalo de confianza ha de ser [[pic]-0,20, [pic]+0,20], entonces,...
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