Ley de gauss

La Ley de Gauss
1. Introducci´n o

− La ley de Gauss desempe˜ a un papel importante dentro de la electrost´tica y del elecn a tromagnetismo por dos razones b´sicas: a 1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo el´ctrico debido e a una distribuci´n de cargas cuando ´sta presenta buenas propiedades de simetr´ o e ıa. En estos casos, suele resultar mucho m´s simple usarla ley de Gauss que obtener E a por integraci´n directa sobre la distribuci´n de cargas, tal y como se ha descrito en o o el tema anterior. 2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley b´sica, no s´lo de la a o electrost´tica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de a las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos losfen´menos electromagn´ticos). o e − Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuaci´n matem´tica que relaciona o a el campo el´ctrico sobre una superficie cerrada con la carga el´ctrica encerrada en su e e interior. − La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto de l´ ıneas de campo. Como se vi´ en el tema anterior, el n´ mero de l´ o u ıneas decampo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el n´ mero total de l´ u ıneas que pasan a trav´s de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Adem´s, e a como se puede apreciar en la figura, el n´ mero de l´ u ıneas debe ser independiente de la forma de la superficie queencierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el n´mero de l´neas de campo que atraviesan u ı una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en su interior.

Figura 1:

1

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Flujo El´ctrico e

− El flujo el´ctrico dΦ a trav´s de una superficie elemental da se define como el proe e ductoescalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de area da (ver ´ Fig. 2 (a)): dΦ = E · da (1)

Figura 2: − El flujo total a trav´s de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede e variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en peque˜ os elementos de superficie ∆a, n en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando el flujo a trav´s de ecada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)), Φ=
S

E · ∆a =

S

E · da

(2)

Por tanto, el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie arbitraria S es igual a la integral e e de superficie del campo E sobre dicha superficie. − Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante que el flujo a trav´s de una superficie cerrada S se suele escribir: e Φ=
S

,de modo
S

E · da

(3)

− Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo el´ctrico a trav´s de e e una superficie: Significado: el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie puede interpretarse como e e una medida del n´ mero de l´ u ıneas de campo que atraviesan dicha superficie; en el caso de una superficie cerrada, las l´ ıneas de campo que salen a trav´s de la e superficiedan una contribuci´n positiva al flujo, mientras que las l´ o ıneas que entran dan una contribuci´n negativa. Por tanto, el flujo el´ctrico a trav´s de una supero e e ficie cerrada es una medida del n´mero neto de l´neas que pasan a trav´s de dicha u ı e superficie, es decir, del n´mero de l´neas que salen menos el n´mero de l´neas que u ı u ı entran; las unidades de flujo el´ctrico en el sistemainternacional son Newton · m2 /C; e 2

3.

La Ley de Gauss

− Ley de Gauss: el flujo el´ctrico neto a trav´s de una superficie cerrada cualquiera es e e igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por ε 0 : Q E · da = εint 0 S

Φ=

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donde Qint es la carga neta en el interior de S. − Notar los siguientes puntos en relaci´n a la ley de Gauss: o Significado f´ ısico: la...