Ley de los grandes numeros

5.4 Ley de los grandes números

Convergencia en Probabilidad

Recordemos que si X es una v.a. continua y X1,X2, ... , Xn son v.a. independientes e idénticamente distribuidas, que tienen la mismaprobabilidad que X.

=> Y = Xi tiene

y = E [ y ] = E [ Xi ] = n

z = Xi / n =

E [ z ] =

es una v.a.

V(Y) = n σ2
V(Z) = σ2 / n

Recordemos que la desigualdad deTchebysheff
P ( | X - | ≥ K σ/√n ) ≤ 1 / k2

Si tomamos como la v.a.
=> P ( | - | ≥ K σ/√n ) ≤ 1 / k2

sea ε = K σ/√n => k = ε √n / σ

P ( | - | ≥ ε ) ≤ ( σ2 / ε2 n )Para ε > 0
Límn→∞ P( | - | > ε ) = 0

Si se cumple esta igualdad, decimos que converge con probabilidad a .

Al hecho de que sea consistente con , o que converja en probabilidad a ,suele designarse como la Ley de los Grandes Números. Esta es la justificación teórica del procedimiento de promediar las mediciones utilizado por muchos investigadores para obtener mayor precisión enlas medidas.

Por ejemplo, un investigador puede calcular el promedio de varias mediciones del peso de un animal para obtener una estimación más exacta de dicho peso. Su consideración, es que elpromedio de muchos pesos obtenidos independientemente debe estar bastante próximo del peso real, con una alta probabilidad.

Ejemplo

A una población de cuatro mecanógrafas se les pidió queescribieran la misma página de un manuscrito. Los errores cometidos por cada mecanógrafa fueron:

Mecanógrafa | No. de Errores |
A | 3 |
B | 2 |
C | 1 |
D | 4 |
Solución

Cuandose dispone de la información de una población se puede calcular la media de ella, entonces

x = ( Xi ) / N

y la desviación estándar



Por lo tanto

x = ( 3 + 2 + 1 + 4 ) / 4 =2.5 errores

σx = 1.12 errores ( aplicando la fórmula anterior)

Si se promediara la totalidad de las 16 medias muestrales obtenidas de las 16 posibles muestras (Nn = 42 = 16), si se...