ley de senos y cosenos

Ley de Cosenos
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Objetivos
Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:
• Entender la geometria de la Ley de Cosenos.
• Conseguir los lados de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
• Conseguir los ángulos de un triángulo utilizando la Ley de Cosenos.
• Reconocer situaciones en donde se usa la Ley de Cosenos.________________________________________
Introducción
Considera el triángulo ABC con lados a, b , c y altura AD, mostrado en la siguiente figura:

En el triángulo rectángulo ADC tenemos lo siguiente:
• Por el teorema de Pitágoras: b2=AD2+DC2 (1)
• Por otro lado, como vimos en Trigonometría de Triángulos Rectángulos:
cosC=ACb
de donde AC=bcosC (2)
En el triángulo rectángulo ABD tenemos lo siguiente:
Por el teorema dePitágoras: c2=AD2+BD2
c2=AD2+(a−CD)2
elevando al cuadrado c2=AD2+(a2−2aCD+CD2)
reagrupando c2=a2+(AD2+CD2)−2aCD
utilizando los resultados (1) y (2) obtenidos arriba c2=a2+b2−2abcosC
Podemos aplicar el mismo procedimiento utilizando las alturas a los otros lados del triángulo para obtener los resultados análogos.
Este resultado se conoce como la Ley de Cosenos. En esta lección utilzaremosla La Ley de Cosenos para resolver triángulos, y aprenderemos a reconocer las situaciones en las que es posible aplicarla.
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Ley de Cosenos
Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple:
a2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2abcosC

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Aplicación sobre la ley de Cosenos.

El capitán de un barcodivisa no muy lejos de su posición una isla y un avión.
Éste calcula de manera aproximada las distancias del barco a la isla y al avión y ángulo que se forma entre el avión, el barco y la isla, tal y como se muestra en el siguiente applet.
El capitán desea estimar la distancia entre el avión y la isla, observa en el applet como el capitán podría resolver su dilema.
Desplaza el avión y observacomo los datos varían.

Situaciones para la Aplicación de la Ley de Cosenos
Como vimos en los ejemplos, podemos resumir la ley de cosenos de la siguiente manera:
La Ley de Cosenos nos permite expresar un lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre estos dos lados.
Cuando resolvemos problemas que involucran triángulos podemos encontrar los siguientescasos:
1. Si el triángulo es rectángulo, la mejor forma de resolverlo es usando las razones trigonométricas que aprendimos en la lección Trigonometría de Triángulos Rectángulos.
2. Si el triángulo es oblicuo, entonces se pueden presentar los siguientes casos:
Caso Aplicabilidad de la Ley de Cosenos
1. Se conoce un lado y dos ángulos

ALA En el ejemplo, el lado conocido es c y los ángulosconocidos son A y B. Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:
a2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2abcosC
Como vemos, en todos los casos, la fórmula involucra dos variables desconocidas, por lo tanto, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.

LAA En el ejemplo, el lado conocido es c y los ángulos conocidos son A y C. Escribiendo las fórmulas de la Ley deCosenos, tenemos:
a2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2abcosC
Como vemos, en todos los casos, la fórmula involucra dos variables desconocidas, por lo tanto, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.
2. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de estos lados

LLA En el ejemplo, los lados conocidos son a y c y el ángulo conocido es el opuesto al lado c, C.Escribiendo las fórmulas de la Ley de Cosenos, tenemos:
a2=b2+c2−2bccosA
b2=a2+c2−2accosB
c2=a2+b2−2abcosC
En las dos primeras ecuaciones, la fórmula involucra dos variables desconocidas. La tercera ecuación, al ser de segundo grado en la variable desconocida, la cual podría generar dos posibles respuestas.
En conclusión, no es posible resolver el triángulo usando la ley de cosenos.
3. Se...