ley de senos y cosenos

TRIANGULOS OBLICUANGULOS
Se llaman oblicuángulos por que los lados son oblicuos con relación uno al otro, no
formando nunca ángulos rectos.

Hay seis elementos fundamentales en un triangulo: los tres lados y los tres ángulos, en
este caso representaremos los ángulos respectivamente por las mayúsculas A,B,C y los
lados opuestos por a,b,c.

C
b

A

a
c

B

LEY DE LOS SENOS
“Encualquier triangulo, la razón entre el seno de un ángulo y el lado opuesto a ese
ángulo es igual a la razón entre el seno de otro ángulo y el lado opuesto a ese ángulo”

a
b
c
=
=
SenA SenB SenC

La ley de los senos consta de las siguientes tres formulas:
1.-

a
b
=
SenA SenB

2.-

a
c
=
SenA SenC

27

3.-

b
c
=
SenB SenC

Para aplicar cualquiera de las formulasanteriores a un triangulo especifico, debemos
conocer los valores de tres de las cuatro variables, si sustituyes estos tres valores en la
formula apropiada, podrás despejar el valor de la cuarta variable.
Se deduce que la ley de los senos se puede usar para hallar las partes restantes de un
triangulo oblicuo siempre que se conozcan cualquiera de las siguientes dos
condiciones:

1.- dos ladosy un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)
2.- dos ángulos y cualquier lado (AAL o ALA)

Uso de la ley de los senos:

Caso (ALA) Dos ángulos y cualquier lado
Resuelve ∆ ABC dados A = 48º, C = 57º y b = 47
B
c

A

48º

a

b=47

57º

C

Solución:
1.- Recuerda que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a 180º, por
lo tanto:

∠A + ∠B + ∠C = 180º

48º + ∠B + 57º = 180º
∠B = 180º - 48º - 57º
∠B = 75º

2.- Dado que se conocen el lado b y los tres ángulos, se puede encontrar "a" usando
una forma de la ley de los senos donde intervengan a, A, b y B:

a
b
=
SenA SenB
a=

b( senA)
SenB

Ley de los senos

Despejar " a"

28

a=

47( sen48º )
Sen75º

a = 36

a=

Sustituir b, A y B

47(0.743) 34.92
=
= 36
0.965
0.965Resultado

Para hallar c, basta sustituir en:

b
c
=
SenB SenC
c=

b( senC )
SenB

c=

47( sen57º ) 47(0.838) 39.386
=
=
= 41
0.965
0.965
Sen75°

c = 41

Caso (LLA) dos lados y un ángulo opuesto a ellos:
Resuelve el ∆ ABC dados a =12.4 ; b = 8.7 y B = 36.º
Hallar

∠A

y se procede de la siguiente manera:
C

a = 12.4

B = 36º

b = 8.7

c=

A=

1.-Determinar un segundo ángulo:
Ley de los Senos

SenA SenB
=
a
b

Despejar Sen A

SenA =

a ( senB)
b

Sustituir a, b, B

SenA =

12.4( sen36º ) 12.4(0.587)
=
8.7
8.7

Resultado

7.288
= 0.837
8.7

Sen A = 57º

29

2.- Por el teorema que señala que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a 180º
determinar el valor del ángulo C:

∴
C = 180° − 57° −36° = 87°

3.- Por Ley de senos determinar la medida del lado restante:

c
b
c
8 .7
=
⇒
=
=
SenC SenB
Sen87º Sen36º
8.7( Sen87º ) 8.7(.9986) 8.688
c=
=
=
= 14.78
Sen36º
.5877
.5877
c = 14.78

LEY DE LOS COSENOS
"El cuadrado de la longitud de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el dobleproducto de las
longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos"
De donde:
a² = b² + c² - 2bc cos A

b² = a² + c² - 2ac cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C

cos A =

b² + c ² − a ²
2bc

a ² + c² − b²
2ac
a ² + b² − c²
cos C =
2ab
cos B =

La cual aplicaremos en la solución de triángulos oblicuángulos en cualquiera de los
siguientes casos:

1.- Dos lados y el ánguloentre ellos (LAL)
2.- Tres lados (LLL)

Nota: Dados dos lados y el ángulo incluido de un triangulo, podemos usar la ley de los
cosenos para hallar el tercer lado y recurrimos a la ley de los senos para encontrar otro
ángulo del triangulo.

Ejemplo: Uso de la ley de los cosenos (LAL)

30

Calcular las partes restantes del ∆ ABC si a =5; c =8 y B = 77º
A
c=8

B

b=

77º

a =5...