Ley senos y cosenos

Teorema del Seno y del Coseno

Teorema del seno Ley de los senos: En cualquier triangulo, la medida del lado es directamente proporcional al seno del ángulo.opuesto.

LA LEY DE LOS SENOS SE APLICA:

1. Dados un lado y dos ángulos.
2. Dados un ángulo, el lado opuesto y cualquiera de los otros dos lados.

A = B = D =
Sena Senb SendTeorema del coseno Ley de los cosenos: En cualquier triangulo, el cuadro de un lado es equivalente a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos su doble producto por el coseno del ángulo que forman.
Este teorema permite calcular la medida de un lado cualquiera de un triangulo, conocidas las medidas de los otros lados y el ángulo formado entre ellos. También, conocida la medida de los lados, sepuede calcular la amplitud de cualquier ángulo interior del triangulo.

LA LEY DE LOS COSENOS SE APLICA:
1. Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
2. Conocidos los tres lados







PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1.- Deducir la ley de los senos.
Solución: Consideremos el triángulo de la figura 14-20. Dibujando la perpendicular (llamé¬mosla H) desde el vértice delángulo d al lado que une los vértices a y b, formamos dos trián¬gulos rectángulos. Vemos que sen a = H/ B, o sea que H = B sen a y sen b = H/ A, es decir, H = A sen b. Igualando las dos expresiones de H, tendremos que B sen a = A sen b, o sea que (sen a)/ A = (sen b)/ B. De la misma manera podemos demostrar que (sen d)/D = (sen a)/ A.



Figura 14-20Figura 14-21
PROBLEMA 2.- DEDUCIR LA LEY DE LOS COSENOS.
Solución: Veamos el triángulo de la figura 14-21. Trazando la perpendicular (llamémosla H) desde el vértice del ángulo d hasta la recta que une los vértices a y b, formamos dos triángulos rectángulos. De nuevo, (sen a) = H/B, es decir, H2 = B2sen2a. Por la identidad sen2 a + cos2 a = 1, tendremos que H2 = B2(1 — cos2 a).Del triángulo rectángulo cdb, tenemos que H2 = A2 — (D — B cos a)2. Igualando los dos lados derechos de las expresiones anteriores, ten¬dremos y,
A2 - (D – B cos a)2 = B2 (1 - cos2 a)
A2 - D2 4- 2BD cos a - B2cos2 a = B2 - B2cos2 a

Simplificando esta expresión,
A2 = B2 + D2 – 2 BD cos a
Que es una de las formas de la ley de los cosenos.

PROBLEMA 3.- Un árbol crece en el punto medio de unaautopista recta. Desde un borde de ésta, el ángulo de elevación de la copa del árbol es de 10° y desde el otro borde es de 8o. La autopista tiene 300 metros de ancho, ¿cuál es la altura del árbol y a qué distancia está de los bor¬des de la calzada?

Solución: Dibujamos un diagrama que ilustre la situación. Hacemos que x sea el lado del trián¬gulo opuesto al ángulo de 10° (ver figura 14-22). Eltercer ángulo es (180 - 10 - 8)° = 162° Entonces, por la ley de los senos, Sea d la distancia del borde de la vía donde está el ángulo de 8º a la copa del árbol. Luego d=168,6 = cos 8º, es decir, d = 168,6 cos 8º = 166,9 m cuando h es la altura del árbol. Por el mismo triángulo rectángulo, h/ 168,6 = sen 8º, luego la altura del árbol es h = 168,6 sen 8º = 23,5 m. La distancia del árbol al otroborde es 300— 166,9 = 133,1 metros.


Figura 14-22
PROBLEMA 4.- El asta de una bandera está colocada verticalmente en el tope de un edi¬ficio. Una persona está ubicada a 400 pies de la base del edificio. Desde su punto de vista, el án¬gulo de elevación a la base del asta es de 60° y al extremo de la misma es de 62,5º. Calcular la al¬tura del asta.
Solución:Construimos un diagrama de la situación (ver figura 14-23). Sea h la altura del asta y b la altura del edificio. Podemos ver que tan 60° = b/400 y tan 62,5° = (b + h)/400. Por la primera ecuación, b = 400 tan 60° = 692,8 pies. Por la segunda ecuación 692,8 + h = 400 tan 62,5° o 692,8 + 768,4 y h = 75,6 pies. Hubiéramos podido resolver el problema sin necesidad de aplicar la ley de los senos o...