Leyes de maxwell

Introducción

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los camposeléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.[
La primera aplicación de las ecuaciones de Maxwell la tendremos en relación con la propagación de las ondas electromagnéticas. La existencia de las ondas EM, que predijo Maxwell con sus ecuaciones, fue investigada por primera ves por Heinrich Hert.
Después de varios cálculos y experimentos, Hertz logro generar y detectarondas de radio, a las cuales suele llamarles ondas Hertzianas en su honor.
En general las ondas constituyen medios para transportar energía o información. algunos ejemplos típicos de las ondas EM son las ondas de radio señales de televisión, los haces de radar y los rayos de luz. Todas estas formas de la energía electromagnética poseen tres características fundamentales: viajan a alta velocidad ensu viaje adoptan propiedades de ondas, y salen por radiación por un fuente, sin contar con el benefició de vehículos físicos discernibles.

La Ecuación de Onda
En este capítulo empezamos el estudio de las aplicaciones e implicaciones de las ecuaciones de Maxwell para campos electromagnéticos variantes en el tiempo. Nuestro interés se centrará en varios métodos de propagación de energía. Uno delos aspectos más controvertidos de las ecuaciones de Maxwell, cuando se publicaron en 1864, fue que predijeron la propagación de la energía en la forma de ondas. Heinrich Hertz verificó, experimentalmente, la existencia de estas ondas en 1887.
Primero vamos a obtener la ecuación de onda que gobierna la propagación de todas las ondas electromagnéticas. Consideremos un medio lineal, isotrópico yhomogéneo. Vamos a suponer que la carga neta libre en la región es cero (v = 0) y que cualquier corriente en la región es corriente de conducción (J =  E). Este tipo de regiones son generalizadas e incluyen los casos prácticos del espacio libre ( = 0) así como la mayoría de los conductores y dieléctricos. Las ecuaciones de Maxwell en su forma puntual se vuelven, para esta región:
     Ecuación3.1a
 Ecuación 3.1b
Ecuación 3.1c
Ecuación 3.1d
Sacando el rotacional de 3.1a;
 Ecuación 3.2
substituyendo 3.1b en 3.2
   Ecuación 3.3
   Ecuación 3.4

De manera similar, tomando el rotacional de 3.1b
 Ecuación 3.5
substituyendo (3.1) en (3.4)
   Ecuación 3.6
 Ecuación 3.7
Para poder interpretar estos resultados, usamos laidentidad vectorial;
 Ecuación 3.8
Donde  2A es el vector laplaciano. En coordenadas rectangulares, el vector laplaciano es:
 Ecuación 3.9
 
En la ecuación 3.9 cada componente escalar es el laplaciano de cada componente, por ejemplo para la coordenada X:
   Ecuación 3.10
Las formas del vector laplaciano en coordenadas cilíndricas y en coordenadas esféricas son derivadas de 3.8 y no son tansencillas como en la ecuación 3.7. Substituyendo 3.8 en 3.4 y en 3.7:
 Ecuación 3.11a
 Ecuación 3.11b

Ya que  . E =  . H = 0, entonces, substituyendo el campo eléctrico en la ecuación 3.8 tenemos:
   Ecuación 3.12
 
pero si  . E = 0, de 3.1c, entonces:
    Ecuación 3.13
 
para este medio. Las ecuaciones diferenciales vectoriales en (3.10) son conocidas como las ecuaciones de onda oecuaciones de Helmholtz. Cada ecuación se compone de tres ecuaciones diferenciales escalares en términos de los componentes de los vectores. Por ejemplo, igualando componentes obtenemos:
   Ecuación 3.14
y de manera similar para los otros dos componentes de E y los tres componentes de H.
Nuestro interés en las ecuaciones de onda será desde el punto de vista senoidal, la variación de estado...