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Cálculo y Álgebra Lineal. ITCR

Prof. Angie Solís Palma

Sucesiones1
Definición 1 Una sucesión de números reales es una función f : IN → IR definida por f ( n ) = an . La sucesión se indica por {an }n∈IN o simplemente {an } , donde a n es el n-ésimo término de
+∞

la sucesión. Ejemplo 1 Enlistar los cinco primeros términos de la sucesión {2n }
+∞ n =1

Solución El término n-ésimo deesta sucesión viene dado por 2 n , con n = 1, 2,3,K De donde: a1 = 21 = 2
a2 = 2 2 = 4 a3 = 23 = 8 a4 = 2 4 = 16 a5 = 25 = 32

Por lo tanto los primeros cinco términos de la sucesión son: 2, 4,8,16, 32

Ejercicio 1 Determine el término general de las siguientes sucesiones
1 2 3 4 a. , , , ,K 2 3 4 5 1 1 1 1 b. , , , ,K 2 4 8 16

⎧ n ⎫ R/ ⎨ ⎬ ⎩ n + 1 ⎭ n =1 ⎧1⎫ R/ ⎨ n ⎬ ⎩ 2 ⎭ n =1 R/
+∞+∞

c. 1, −1, 1, −1,K
1 2 3 4 d. , − , , − ,K 2 3 4 5

{( −1) }

n +1 + ∞ n =1

ó

{(− 1) }
n
+∞

+∞ n =0

n ⎫ n +1 ⎧ R/ ⎨( −1) ⎬ n + 1 ⎭ n =1 ⎩ R/

e. 1, 3,5, 7,K

{2n − 1}n =1
+∞

Este es un material elaborado por la profesora Angie Solís Palma, con fines didácticos y para ser utilizado en el curso MA-1103 Cálculo y Álgebra Lineal. Dicho curso se imparte en la Escuelade Matemática del Instituto Tecnológico de Costa Rica.

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Cálculo y Álgebra Lineal. ITCR

Prof. Angie Solís Palma

Ejemplo 2 ⎧1 ⎫ Trace la gráfica de la siguiente sucesión ⎨ ⎬ ⎩ n ⎭ n =1 Solución Algunos valores de la sucesión son los siguientes:
+∞

n
1 2 3 4 5

⎧1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩n⎭ 1
1 = 0.5 2 1 = 0.3 3 1 = 0.25 4 1 = 0.2 5

n
20 21 22 23 24

⎧1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩n⎭ 1 = 0.05 20 1 = 0.04821 1 = 0.045 22 1 = 0.043 23 1 = 0.042 24

Ahora utilizando estos valores se puede trazar la siguiente gráfica

an =

1 ; n = 1, 2,3,K n

Ejemplo 3 Trace la gráfica de las siguientes sucesiones a. b.

{n + 1}n =1
+∞

{( −1) }

n +1 + ∞ n =1

⎧ n ⎫ c. ⎨ ⎬ ⎩ n + 1 ⎭ n =1

+∞

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Solución +∞ a. {n + 1}n =1

n 1 23 4 5

{n + 1}
2 3 4 5 6

n 20 21 22 23 24

{n + 1}
21 22 23 24 25

{n + 1}n =1
+∞

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b.

{( −1) }

n +1 + ∞ n =1

n
1 2 3 4 5 6 7

{( −1) }
n+1

n
8 9 M 20 21 22 23 24

{( −1) }
n+1

1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 1 -1 1 -1 1 -1

{( −1)

n +1 + ∞ n =1

}

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⎧ n ⎫ c. ⎨ ⎬ ⎩ n + 1 ⎭ n =1

+∞

n
1 2 3 4 5 6 7

⎧ n ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ n + 1⎭ 1 1 = = 0.5 1+1 2 2 2 = = 0.6 2 +1 3 3 3 = = 0.75 3 +1 4 4 4 = = 0 .8 4 +1 5 5 5 = = 0.83 5 +1 6 6 6 = = 0.8571 6 +1 7 7 7 = = 0.875 7 +1 8

n
8 9

⎧ n ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ n + 1⎭ 8 8 = = 0.8 8 +1 9 9 9 = = 0.9 9 + 1 10 20 20 = = 0.952 20 + 1 21 21 21 = = 0.955 21 + 1 22 22 22 = = 0.957 22 + 1 23 23 23 = =0.958 23 + 1 24 24 24 = = 0.96 24 + 1 25

M
20 21 22 23 24

⎧ n ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ n + 1 ⎭ n =1

+∞

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Prof. Angie Solís Palma

Definición 2 +∞ Sea L ∈ IR, se dice que la sucesión {an }n∈IN es convergente a L, si existe N ∈ IN tal que

∀n > N, se cumple que lim an = L
n →∞

Si la sucesión no tiene un límite finito, se dice divergente. Ejemplo 4
⎧ ⎛ 1 ⎞n⎫ ⎪ ⎪ Determine si la sucesión ⎨1 + ⎜ − ⎟ ⎬ es convergente o divergente. ⎪ ⎝ 2 ⎠ ⎪ n =1 ⎩ ⎭
+∞

Solución Construyendo una tabla de valores apropiada y realizando la gráfica de la sucesión, se ⎛ ⎛ 1 ⎞n ⎞ puede observar que lim ⎜1 + ⎜ − ⎟ ⎟ = 1 , y en tal caso decimos que la sucesión converge ⎟ n→∞ ⎜ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎠ a 1.
⎧ ⎛ 1 ⎞n ⎫ ⎪ ⎪ ⎨1 + ⎜ − ⎟ ⎬ ⎪ ⎝ 2⎠ ⎭ ⎪ ⎩
1 1 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 − = = 0.5 2 2 ⎝ 2⎠1 5 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 + = = 1.25 4 4 ⎝ 2⎠ 1 7 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 − = = 0.875 8 8 ⎝ 2⎠ 1 17 ⎛ 1⎞ 1+ ⎜ − ⎟ = 1+ = = 1.0625 16 16 ⎝ 2⎠ 1 31 ⎛ 1⎞ 1+ ⎜ − ⎟ = 1− = = 0.96875 32 32 ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 + 20 = 1.000000954 2 ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 − 21 = 0.999999523 2 ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 + 22 = 1.000000238 2 ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 − 23 = 0.99999988 2 ⎝ 2⎠ 1 ⎛ 1⎞ 1 + ⎜ − ⎟ = 1 + 24 =...
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